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设，A＝αβT，B＝βTα，其中βT是β的转置，求解方程 2B2A2x＝A4x＋B4x＋γ．
设，A＝αβT，B＝βTα，其中βT是β的转置，求解方程 2B2A2x＝A4x＋B4x＋γ．
admin
2021-01-19
41
问题
设
，A＝αβ
T
，B＝β
T
α，其中β
T
是β的转置，求解方程
2B
2
A
2
x＝A
4
x＋B
4
x＋γ．
选项
答案
由题设，有 [*] 且进一步有 A
2
＝αβ
T
αβ
T
＝α(β
T
α)β
T
＝2A， A
4
＝8A． 代入原方程化简，得 16Ax＝8Ax＋16x＋γ， 即8(A－2E)x＝γ． 令x＝(x
1
，x
2
，x
3
)
T
，代入上式，得到非齐次线性方程组 [*] 其对应齐次方程组的通解为[*](k为任意常数)，非齐次线性方程组的一个特解为 [*] 于是所求方程的通解为x＝ξ＋η
*
，即 [*](k为任意常数)．
解析
[分析] 本题的方程表面上看很复杂，但注意到
，而
＝αβ
T
是3阶矩阵，且有A
2
＝αβ
T
αβ
T
＝α(β
T
α)β
T
2A后，即可方便地化简．
[评注] 一般地，设α＝(a
1
，a
2
，…a
n
)，β＝(b
1
，b
2
，…，b
n
)，则
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考研数学二
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