2. 考研
  3. 设某种电子器件的寿命(以小时计)T服从参数为λ的指数分布，其中λ＞0未知．从这批器件中任取n只在时刻t＝0时投入独立的寿命试验，试验进行到预订时间T0结束，此时有k(0＜k＜n)只器件失效． 求：(Ⅰ)一只器件在时间T0未失效的概率； (Ⅱ)λ的最大似然估

设某种电子器件的寿命(以小时计)T服从参数为λ的指数分布，其中λ＞0未知．从这批器件中任取n只在时刻t＝0时投入独立的寿命试验，试验进行到预订时间T0结束，此时有k(0＜k＜n)只器件失效． 求：(Ⅰ)一只器件在时间T0未失效的概率； (Ⅱ)λ的最大似然估

admin2019-01-24  31
问题 设某种电子器件的寿命(以小时计)T服从参数为λ的指数分布，其中λ＞0未知．从这批器件中任取n只在时刻t＝0时投入独立的寿命试验，试验进行到预订时间T0结束，此时有k(0＜k＜n)只器件失效．
求：(Ⅰ)一只器件在时间T0未失效的概率；
(Ⅱ)λ的最大似然估计量．
选项
答案(Ⅰ)记T的分布函数为F(t)，则 [*] 一只器件在t＝0时投入试验，则在时间T0以前失效的概率为P{T≤T0}＝F(T0)＝1－eλT0，故在时间T0未失效的概率为 P{T＞T0}＝1－F(T0)＝e－λT0． (Ⅱ)考虑事件A＝{试验直至时间T0为止，有k只器件失效，n－k只未失效}的概率．由于各只器件的试验是相互独立的，因此事件A的概率为 L(λ)＝Ckn(1－e－λT0)k(e－λT0)n－k， 这就是所求的似然函数．取对数得 ln L(λ)＝lnCkn ＋kln(1－e－λT0)＋(n－k)(－λT0)． 令[*] 则ne－λT0＝n－k，解得λ的最大似然估计量为 [*]
解析
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考研数学一

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