设某种电子器件的寿命(以小时计)T服从参数为λ的指数分布，其中λ＞0未知．从这批器件中任取n只在时刻t＝0时投入独立的寿命试验，试验进行到预订时间T0结束，此时有k(0＜k＜n)只器件失效．求：(Ⅰ)一只器件在时间T0未失效的概率； (Ⅱ)λ的最大似然估

admin2019-01-24 33

问题设某种电子器件的寿命(以小时计)T服从参数为λ的指数分布，其中λ＞0未知．从这批器件中任取n只在时刻t＝0时投入独立的寿命试验，试验进行到预订时间T₀结束，此时有k(0＜k＜n)只器件失效．
求：(Ⅰ)一只器件在时间T₀未失效的概率；
(Ⅱ)λ的最大似然估计量．

选项

答案(Ⅰ)记T的分布函数为F(t)，则 [*] 一只器件在t＝0时投入试验，则在时间T₀以前失效的概率为P{T≤T₀}＝F(T₀)＝1^－eλT₀，故在时间T₀未失效的概率为 P{T＞T₀}＝1－F(T₀)＝e^－λT₀． (Ⅱ)考虑事件A＝{试验直至时间T₀为止，有k只器件失效，n－k只未失效}的概率．由于各只器件的试验是相互独立的，因此事件A的概率为 L(λ)＝C^k_n(1－e^－λT₀)^k(e^－λT₀)^n－k，这就是所求的似然函数．取对数得 ln L(λ)＝lnC^k_n ＋kln(1－e^－λT₀)＋(n－k)(－λT₀)．令[*] 则ne^－λT₀＝n－k，解得λ的最大似然估计量为 [*]

解析

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考研数学一

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