设某种电子器件的寿命(以小时计)T服从参数为λ的指数分布,其中λ>0未知.从这批器件中任取n只在时刻t=0时投入独立的寿命试验,试验进行到预订时间T0结束,此时有k(0<k<n)只器件失效. 求:(Ⅰ)一只器件在时间T0未失效的概率; (Ⅱ)λ的最大似然估

admin2019-01-24  19

问题 设某种电子器件的寿命(以小时计)T服从参数为λ的指数分布,其中λ>0未知.从这批器件中任取n只在时刻t=0时投入独立的寿命试验,试验进行到预订时间T0结束,此时有k(0<k<n)只器件失效.
求:(Ⅰ)一只器件在时间T0未失效的概率;
(Ⅱ)λ的最大似然估计量.

选项

答案(Ⅰ)记T的分布函数为F(t),则 [*] 一只器件在t=0时投入试验,则在时间T0以前失效的概率为P{T≤T0}=F(T0)=1-eλT0,故在时间T0未失效的概率为 P{T>T0}=1-F(T0)=e-λT0. (Ⅱ)考虑事件A={试验直至时间T0为止,有k只器件失效,n-k只未失效}的概率.由于各只器件的试验是相互独立的,因此事件A的概率为 L(λ)=Ckn(1-e-λT0)k(e-λT0)n-k, 这就是所求的似然函数.取对数得 ln L(λ)=lnCkn +kln(1-e-λT0)+(n-k)(-λT0). 令[*] 则ne-λT0=n-k,解得λ的最大似然估计量为 [*]

解析
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