2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内有f(x)＞0恒成立且xf’(x)=f(x)+ax2。由曲线y=f(x)与直线x=1，y=0围成的平面图形的面积为2。 (Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式； (Ⅱ)a取何值时，此图形绕x轴旋转一周而

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内有f(x)＞0恒成立且xf’(x)=f(x)+ax2。由曲线y=f(x)与直线x=1，y=0围成的平面图形的面积为2。 (Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式； (Ⅱ)a取何值时，此图形绕x轴旋转一周而

admin2019-08-11  43
问题 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内有f(x)＞0恒成立且xf’(x)=f(x)+ax2。由曲线y=f(x)与直线x=1，y=0围成的平面图形的面积为2。
    (Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式；
    (Ⅱ)a取何值时，此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体体积最小?
选项
答案(Ⅰ)将[*]，这是一阶线性微分方程，由一阶线性微分方程的通解公式得 [*] 由y=f(x)与x=1，y=0围成的平面图形的面积为2可知， [*] 注意到在(0，1)内需f(x)＞0成立，故还需确定a的取值范围。 [*] ①当a=0时，f(x)=4x，满足题意； ②当a＞0时，函数f(x)开口向上，只需对称轴[*]即可，即0＜a≤4； ③当a＜0时，函数f(x)开口向下，对称轴[*]，只需f(1)≥0，即-8≤a＜0； 综上所述，f(x)=[*]ax2+(4-a)x且-8≤a≤4。 (Ⅱ)y=f(x)绕x轴旋转一周而成的旋转体体积为 V(a)=π∫01f2(x)dx [*] 由[*]得a=-5∈[-8，4]，而实际问题总是存在最值，所以当a=-5时，旋转体的体积最小。
解析
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考研数学二

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