已知A为三阶方阵，A2—A—2E=D，且0＜|A|＜5，则|A+2E|=________。

admin2017-01-21 59

问题已知A为三阶方阵，A²—A—2E=D，且0＜|A|＜5，则|A+2E|=________。

选项

答案4

解析设A的特征值λ_i对应的特征向量是x_i（x_i≠0，i=1，2，3），则Ax_i=λx_i。
由A²—A—2E=0可知，特征向量x_i满足（A²—A—2E）x_i=0，从而有λ_i²一λ_i—2=0，解
得λ_i=—1或λ_i=20再根据|A|=λ₁λ₂λ₃及0＜|A|＜5可得，λ₁=λ₂=—1，λ₃=2。
由Ax_i=Ax_i可得（A+2E）x_i=（λ_i+2）x_i，即A+2E的特征值μ_i（i=1，2，3）满足μ_i=λ_i+2，所以μ₁=μ₂=1，μ₃=4，故|A+2E|=1×1×4=4。

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考研数学三

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