已知实二次型f(x1，x2，x2)=xTAX的矩阵A满足，且ξ1=（1，2，1）T，ξ2=（1，－1，1）T是齐次线性方程组Ax=0一个基础解系．用正交变换将二次型f化为标准形，写出所用的正交变换和所得的标准形；

admin2016-04-29 29

问题已知实二次型f(x₁，x₂，x₂)=x^TAX的矩阵A满足

，且ξ₁=（1，2，1）^T，ξ₂=（1，－1，1）^T是齐次线性方程组Ax=0一个基础解系．
用正交变换将二次型f化为标准形，写出所用的正交变换和所得的标准形；

选项

答案由题意知A的特征值为λ₁=λ₂=0，λ₃=2．设ξ₃为A的属于特征值λ₃=2的特征向量，则ξ₃分别与ξ₁，ξ₂正交，记ξ₃=（t₁，t₂，t₃）^T，有[*]故可取t₁=1，t₂=0，t₃=－1，即ξ₃=（1，0，－1）^T．此时ξ₁，ξ₂，λ₃为正交向量组，记 [*]

解析

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考研数学三

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已知实二次型f(x1，x2，x2)=xTAX的矩阵A满足，且ξ1=（1，2，1）T，ξ2=（1，－1，1）T是齐次线性方程组Ax=0一个基础解系．用正交变换将二次型f化为标准形，写出所用的正交变换和所得的标准形；

考研数学三

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