正交矩阵Q使得QTAQ是对角矩阵,并且Q的第1列为(1,2,1)T.求a和Q.

admin2017-10-21  27

问题 正交矩阵Q使得QTAQ是对角矩阵,并且Q的第1列为(1,2,1)T.求a和Q.

选项

答案Q-1AQ=QTAQ是对角矩阵,说明Q的列向量都是A的特征向量,于是(1,2,1)T也是A的特征向量. [*] (1,2,1)T和(2,5+a,4+2a)T相关,得a=一1,并且(1,2,1)T的特征值为2. [*] A的特征值为2,5,一4.下面来求它们的单位特征向量. [*]是属于2的单位特征向量. [*] 则(1,一1,1)T是属于5的特征向量,单位化得[*] [*] 则(1,0,一1)T是属于一4的特征向量,单位化得[*] 则Q=(α1,α2,α3),(不是唯一解,例如(α1,α3,α2),(α1,一α2,一α3),(α1,一α3,一α2)等也都适合要求.)

解析
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