(Ⅰ)比较∫01|lnt|[ln(1+t)]ndt与∫01|lnt|tndt(n=1,2,…)的大小,说明理由; (Ⅱ)记un=∫01|lnt|[ln(1+t)]ndt(n=0,1,2,…),求极限un。

admin2021-01-19  43

问题 (Ⅰ)比较∫01|lnt|[ln(1+t)]ndt与∫01|lnt|tndt(n=1,2,…)的大小,说明理由;
(Ⅱ)记un=∫01|lnt|[ln(1+t)]ndt(n=0,1,2,…),求极限un

选项

答案(Ⅰ)令f(t)=ln(1+t)-t,则当0≤t≤1时,f’(t)=[*]-1≤0,故当0≤t≤1时,f(t)≤f(0)=0。 所以0≤ln(1+t)≤t≤1,从而[1n(1+t)]n≤tn(n=1,2,…)。 又由|lnt|≥0,得 ∫01|lnt|[ln(1+t)]ndt<∫01tn|lnt|dt(n=1,2,…)。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,0≤un=∫01|lnt|[ln(1+t)]ndt≤∫01tn|lnt|dt,因为 ∫01tn|lnt|dt=-∫01tn(lnt)dt [*] 所以[*]∫01tn|lnt|dt=0。 由夹逼定理得 [*]∫01|lnt|[ln(1+t)]ndt=0。

解析
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