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(Ⅰ)比较∫01|lnt|[ln(1+t)]ndt与∫01|lnt|tndt(n=1,2,…)的大小,说明理由; (Ⅱ)记un=∫01|lnt|[ln(1+t)]ndt(n=0,1,2,…),求极限un。
(Ⅰ)比较∫01|lnt|[ln(1+t)]ndt与∫01|lnt|tndt(n=1,2,…)的大小,说明理由; (Ⅱ)记un=∫01|lnt|[ln(1+t)]ndt(n=0,1,2,…),求极限un。
admin
2021-01-19
65
问题
(Ⅰ)比较∫
0
1
|lnt|[ln(1+t)]
n
dt与∫
0
1
|lnt|t
n
dt(n=1,2,…)的大小,说明理由;
(Ⅱ)记u
n
=∫
0
1
|lnt|[ln(1+t)]
n
dt(n=0,1,2,…),求极限
u
n
。
选项
答案
(Ⅰ)令f(t)=ln(1+t)-t,则当0≤t≤1时,f’(t)=[*]-1≤0,故当0≤t≤1时,f(t)≤f(0)=0。 所以0≤ln(1+t)≤t≤1,从而[1n(1+t)]
n
≤t
n
(n=1,2,…)。 又由|lnt|≥0,得 ∫
0
1
|lnt|[ln(1+t)]
n
dt<∫
0
1
t
n
|lnt|dt(n=1,2,…)。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,0≤u
n
=∫
0
1
|lnt|[ln(1+t)]
n
dt≤∫
0
1
t
n
|lnt|dt,因为 ∫
0
1
t
n
|lnt|dt=-∫
0
1
t
n
(lnt)dt [*] 所以[*]∫
0
1
t
n
|lnt|dt=0。 由夹逼定理得 [*]∫
0
1
|lnt|[ln(1+t)]
n
dt=0。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/KV84777K
0
考研数学二
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