2. 考研
  3. (Ⅰ)比较∫01|lnt|[ln(1+t)]ndt与∫01|lnt|tndt(n=1，2，…)的大小，说明理由； (Ⅱ)记un=∫01|lnt|[ln(1+t)]ndt(n=0，1，2，…)，求极限un。

(Ⅰ)比较∫01|lnt|[ln(1+t)]ndt与∫01|lnt|tndt(n=1，2，…)的大小，说明理由； (Ⅱ)记un=∫01|lnt|[ln(1+t)]ndt(n=0，1，2，…)，求极限un。

admin2021-01-19  102
问题 (Ⅰ)比较∫01|lnt|[ln(1+t)]ndt与∫01|lnt|tndt(n=1，2，…)的大小，说明理由；
(Ⅱ)记un=∫01|lnt|[ln(1+t)]ndt(n=0，1，2，…)，求极限un。
选项
答案(Ⅰ)令f(t)=ln(1+t)－t，则当0≤t≤1时，f’(t)=[*]－1≤0，故当0≤t≤1时，f(t)≤f(0)=0。 所以0≤ln(1+t)≤t≤1，从而[1n(1+t)]n≤tn(n=1，2，…)。 又由|lnt|≥0，得 ∫01|lnt|[ln(1+t)]ndt＜∫01tn|lnt|dt(n=1，2，…)。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，0≤un=∫01|lnt|[ln(1+t)]ndt≤∫01tn|lnt|dt，因为 ∫01tn|lnt|dt=－∫01tn(lnt)dt [*] 所以[*]∫01tn|lnt|dt=0。 由夹逼定理得 [*]∫01|lnt|[ln(1+t)]ndt=0。
解析
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考研数学二

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