2. 考研
  3. 设函数f(x)在x＝x0的某邻域U内存在连续的二阶导数． (I)设当h>0，(x0－h)∈U，(x0﹢h)∈U，恒有 f(x0)

设函数f(x)在x＝x0的某邻域U内存在连续的二阶导数． (I)设当h>0，(x0－h)∈U，(x0﹢h)∈U，恒有 f(x0)

admin2019-06-29  55
问题 设函数f(x)在x＝x0的某邻域U内存在连续的二阶导数．
(I)设当h>0，(x0－h)∈U，(x0﹢h)∈U，恒有
f(x0)<f(x0﹢h)﹢f(x0－h)]，    (*)
证明f”(x0)≥0；
(Ⅱ)如果”(x0)﹥0，证明必存在h﹥0，(x0－h)∈U，(x0﹢h)∈U，使(*)式成立．
选项
答案(I)由条件，当h>0充分小，(x0±h)∈U，有 f(x0﹢h)－f(x0)﹢f(x0﹣h)－f(x0)＞0． 则由拉格朗日中值定理，有 f’(ξ2)h﹢f’(ξ1)(－h)﹥0， 其中x0－h<ξ1＜x0﹤ξ2＜x0﹢h．又因为h>0，得 f’(ξ2)－f’(ξ1)>0． 再在区间[ξ1，ξ2]上用拉格朗日中值定理，有 f”(ξ)(ξ2－ξ1)﹥0， 其中x0－h＜ξ1＜ξ2＜x0﹢h．由此推得f”(ξ)＞0．再令h→0，得ξ→x3，并且得f”(x0)≥0． 证毕． (Ⅱ)由题设f”(x)在x＝x0的邻域U内连续，且f”(x0)>0，故存在h>0，使x0－h，x0﹢h][*]U且在区间[x0－h，x0﹢h]内f”(x)>0．将f(x)按(x－x0)的幂展开的泰勒公式，有 f(x)＝f(x0)﹢f’(x0)(x－x0)﹢[*]f”(ξ)(x－x0)2 ＞f(x0)﹢f’(x0)(x－x0)， 其中ξ∈(x,x0)(或(x0，x))，x∈[x0－h，x0﹢h，x≠x0．取x＝(x0﹢h)∈U，得 f(x0﹢h)﹥f(x0)﹢f’(x0)h； 取x＝(x0－h)∈U，得 f(x0－h)＞f(x0)－f’(x0)h． 从而有 f(x0﹢h)﹢f(x0－h)＞2f(x0)， 即f(x0)＜[*][f(x0﹢h)﹢f(x0－h)]，故(*)式成立．证毕．
解析
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考研数学二

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