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设函数f(x)在x=x0的某邻域U内存在连续的二阶导数. (I)设当h>0,(x0-h)∈U,(x0﹢h)∈U,恒有 f(x0)
设函数f(x)在x=x0的某邻域U内存在连续的二阶导数. (I)设当h>0,(x0-h)∈U,(x0﹢h)∈U,恒有 f(x0)
admin
2019-06-29
49
问题
设函数f(x)在x=x
0
的某邻域U内存在连续的二阶导数.
(I)设当h>0,(x
0
-h)∈U,(x
0
﹢h)∈U,恒有
f(x
0
)<
f(x
0
﹢h)﹢f(x
0
-h)], (*)
证明f
”
(x
0
)≥0;
(Ⅱ)如果
”
(x
0
)﹥0,证明必存在h﹥0,(x
0
-h)∈U,(x
0
﹢h)∈U,使(*)式成立.
选项
答案
(I)由条件,当h>0充分小,(x
0
±h)∈U,有 f(x
0
﹢h)-f(x
0
)﹢f(x
0
﹣h)-f(x
0
)>0. 则由拉格朗日中值定理,有 f
’
(ξ
2
)h﹢f
’
(ξ
1
)(-h)﹥0, 其中x
0
-h<ξ
1
<x
0
﹤ξ
2
<x
0
﹢h.又因为h>0,得 f
’
(ξ
2
)-f
’
(ξ
1
)>0. 再在区间[ξ
1
,ξ
2
]上用拉格朗日中值定理,有 f
”
(ξ)(ξ
2
-ξ
1
)﹥0, 其中x
0
-h<ξ
1
<ξ
2
<x
0
﹢h.由此推得f
”
(ξ)>0.再令h→0,得ξ→x
3
,并且得f
”
(x
0
)≥0. 证毕. (Ⅱ)由题设f
”
(x)在x=x
0
的邻域U内连续,且f
”
(x
0
)>0,故存在h>0,使x
0
-h,x
0
﹢h][*]U且在区间[x
0
-h,x
0
﹢h]内f
”
(x)>0.将f(x)按(x-x
0
)的幂展开的泰勒公式,有 f(x)=f(x
0
)﹢f
’
(x
0
)(x-x
0
)﹢[*]f
”
(ξ)(x-x
0
)
2
>f(x
0
)﹢f
’
(x
0
)(x-x
0
), 其中ξ∈(x,x
0
)(或(x
0
,x)),x∈[x
0
-h,x
0
﹢h,x≠x
0
.取x=(x
0
﹢h)∈U,得 f(x
0
﹢h)﹥f(x
0
)﹢f
’
(x
0
)h; 取x=(x
0
-h)∈U,得 f(x
0
-h)>f(x
0
)-f
’
(x
0
)h. 从而有 f(x
0
﹢h)﹢f(x
0
-h)>2f(x
0
), 即f(x
0
)<[*][f(x
0
﹢h)﹢f(x
0
-h)],故(*)式成立.证毕.
解析
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