首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设函数f(x)在x=x0的某邻域U内存在连续的二阶导数. (I)设当h>0,(x0-h)∈U,(x0﹢h)∈U,恒有 f(x0)
设函数f(x)在x=x0的某邻域U内存在连续的二阶导数. (I)设当h>0,(x0-h)∈U,(x0﹢h)∈U,恒有 f(x0)
admin
2019-06-29
85
问题
设函数f(x)在x=x
0
的某邻域U内存在连续的二阶导数.
(I)设当h>0,(x
0
-h)∈U,(x
0
﹢h)∈U,恒有
f(x
0
)<
f(x
0
﹢h)﹢f(x
0
-h)], (*)
证明f
”
(x
0
)≥0;
(Ⅱ)如果
”
(x
0
)﹥0,证明必存在h﹥0,(x
0
-h)∈U,(x
0
﹢h)∈U,使(*)式成立.
选项
答案
(I)由条件,当h>0充分小,(x
0
±h)∈U,有 f(x
0
﹢h)-f(x
0
)﹢f(x
0
﹣h)-f(x
0
)>0. 则由拉格朗日中值定理,有 f
’
(ξ
2
)h﹢f
’
(ξ
1
)(-h)﹥0, 其中x
0
-h<ξ
1
<x
0
﹤ξ
2
<x
0
﹢h.又因为h>0,得 f
’
(ξ
2
)-f
’
(ξ
1
)>0. 再在区间[ξ
1
,ξ
2
]上用拉格朗日中值定理,有 f
”
(ξ)(ξ
2
-ξ
1
)﹥0, 其中x
0
-h<ξ
1
<ξ
2
<x
0
﹢h.由此推得f
”
(ξ)>0.再令h→0,得ξ→x
3
,并且得f
”
(x
0
)≥0. 证毕. (Ⅱ)由题设f
”
(x)在x=x
0
的邻域U内连续,且f
”
(x
0
)>0,故存在h>0,使x
0
-h,x
0
﹢h][*]U且在区间[x
0
-h,x
0
﹢h]内f
”
(x)>0.将f(x)按(x-x
0
)的幂展开的泰勒公式,有 f(x)=f(x
0
)﹢f
’
(x
0
)(x-x
0
)﹢[*]f
”
(ξ)(x-x
0
)
2
>f(x
0
)﹢f
’
(x
0
)(x-x
0
), 其中ξ∈(x,x
0
)(或(x
0
,x)),x∈[x
0
-h,x
0
﹢h,x≠x
0
.取x=(x
0
﹢h)∈U,得 f(x
0
﹢h)﹥f(x
0
)﹢f
’
(x
0
)h; 取x=(x
0
-h)∈U,得 f(x
0
-h)>f(x
0
)-f
’
(x
0
)h. 从而有 f(x
0
﹢h)﹢f(x
0
-h)>2f(x
0
), 即f(x
0
)<[*][f(x
0
﹢h)﹢f(x
0
-h)],故(*)式成立.证毕.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/mOV4777K
0
考研数学二
相关试题推荐
=_______
=________.
设A为n阶矩阵,A的各行元素之和为0且r(A)=n-1,则方程组AX=0的通解为________
设z=χf(χ+y)+g(χy,χ2+y2),其中f,g分别二阶连续可导和二阶连续可偏导,则=_______.
已知A,B均是三阶矩阵,将A中第3行的一2倍加到第2行得矩阵A1,将B中第1列和第2列对换得到B1,又A1B1=则AB=_______
设函数,则dz|(1,1)=__________。
已知向量组具有相同的秩,且β3可由α1,α2,α3线性表出,求a,b的值。
设f(x)=求f(x)的极值.
求解二阶微分方程的初值问题
(1996年)设f(χ)为连续函数.(1)求初值问题的解y(χ),其中a是正常数;(2)若|f(χ)|≤k(k为常数),证明:当χ≥0时,有|y(χ)|≤(1-e-aχ)
随机试题
以下哪种免疫球蛋白在血清中含量最高
简述企业战略的构成要素。
肺牵张反射的过程与生理意义是什么?
巨细胞动脉炎的病理改变为
A、大孔吸附树脂B、凝胶过滤法C、硅胶色谱法D、液-液萃取法E、聚酰胺分离黄酮苷元类成分最适宜的方法是
治疗溃疡性结肠炎的首选药物是
关于收款凭证的编制,说法正确的有()
下列关于应付账款的表述不正确的是()。
Punditswhowanttosoundjudiciousarefondofwarningagainstgeneralizing.Eachcountryisdifferent,theysay,andnoonest
Dafterinterviewingbecomecommonpractice【S1】______intheUnitedStates,Americanjournalists
最新回复
(
0
)