2. 考研
  3. 设f(x)在[0，2]上三阶连续可导，且f(0)=1，f′(1)=0，f(2)=5/3.证明：存在ξ∈(0，2)，使得f′″(ξ)=2.

设f(x)在[0，2]上三阶连续可导，且f(0)=1，f′(1)=0，f(2)=5/3.证明：存在ξ∈(0，2)，使得f′″(ξ)=2.

admin2022-08-19  30
问题 设f(x)在[0，2]上三阶连续可导，且f(0)=1，f′(1)=0，f(2)=5/3.证明：存在ξ∈(0，2)，使得f′″(ξ)=2.
选项
答案方法一 先作一个函数P(x)=ax3+bx2+cx+d，使得 P(0)=f(0)=1，P′(1)=f′(1)=0，P(2)=f(2)=5/3，P(1)=f(1). 则P(x)=x3/3+[1/3-f(1)]x2+[2f(1)-5/3]x+1， 令g(x)=f(x)=P(x)，则g(x)在[0，2]上三阶可导，且g(0)=g(1)=g(2)=0，所以存在c1∈(0，1)，c2∈(1，2)，使得g′(1)=g′(1)=g′(c2)=0，又存在d1∈(c1，1)，d2∈(1，c2)使得g″(d1)=g″(d2)=0，再由罗尔定理，存在ξ∈(d1，d1)[*](0，2)，使得g″(ξ)=0，而g″(x)=f″(x)-2，所以f″(ξ)=2. 方法二 由泰勒公式，得 1=f(0)=f(1)+f″(1)/2-f′″(ξ1)/6，ξ1∈(0，1)， 5/3=f(2)=f(1)+f″(1)/2-f′″(ξ2)/6，ξ2∈(1，2)， 两式相减，得2/3=[f′″(ξ1)+f′″(ξ2)]/6，而f′″(x)∈C[0，2]，所以存在ξ∈(0，2)，使得f′″(ξ)=2.
解析
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考研数学三

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