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设f(x)在[0,2]上三阶连续可导,且f(0)=1,f′(1)=0,f(2)=5/3.证明:存在ξ∈(0,2),使得f′″(ξ)=2.
设f(x)在[0,2]上三阶连续可导,且f(0)=1,f′(1)=0,f(2)=5/3.证明:存在ξ∈(0,2),使得f′″(ξ)=2.
admin
2022-08-19
75
问题
设f(x)在[0,2]上三阶连续可导,且f(0)=1,f′(1)=0,f(2)=5/3.证明:存在ξ∈(0,2),使得f′″(ξ)=2.
选项
答案
方法一 先作一个函数P(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d,使得 P(0)=f(0)=1,P′(1)=f′(1)=0,P(2)=f(2)=5/3,P(1)=f(1). 则P(x)=x
3
/3+[1/3-f(1)]x
2
+[2f(1)-5/3]x+1, 令g(x)=f(x)=P(x),则g(x)在[0,2]上三阶可导,且g(0)=g(1)=g(2)=0,所以存在c
1
∈(0,1),c
2
∈(1,2),使得g′(1)=g′(1)=g′(c
2
)=0,又存在d
1
∈(c
1
,1),d
2
∈(1,c
2
)使得g″(d
1
)=g″(d
2
)=0,再由罗尔定理,存在ξ∈(d
1
,d
1
)[*](0,2),使得g″(ξ)=0,而g″(x)=f″(x)-2,所以f″(ξ)=2. 方法二 由泰勒公式,得 1=f(0)=f(1)+f″(1)/2-f′″(ξ
1
)/6,ξ
1
∈(0,1), 5/3=f(2)=f(1)+f″(1)/2-f′″(ξ
2
)/6,ξ
2
∈(1,2), 两式相减,得2/3=[f′″(ξ
1
)+f′″(ξ
2
)]/6,而f′″(x)∈C[0,2],所以存在ξ∈(0,2),使得f′″(ξ)=2.
解析
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考研数学三
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