[2017年] 设y(x)是区间(0,)内的可导函数,且y(1)=0,点P是曲线L:y=y(x)上的任意一点,L在点P处的切线与Y轴相交于点(0,YP),法线与x轴相交于点(XP,0),若Xp=Yp,求L上点的坐标(x,y)满足的方程。

admin2019-05-10  44

问题 [2017年]  设y(x)是区间(0,)内的可导函数,且y(1)=0,点P是曲线L:y=y(x)上的任意一点,L在点P处的切线与Y轴相交于点(0,YP),法线与x轴相交于点(XP,0),若Xp=Yp,求L上点的坐标(x,y)满足的方程。

选项

答案结合导数的应用和微分方程的求解方法,首先使用切线和法线的性质列出微分方程,再求解微分方程. 设L在(x,y)处的切线方程为Y—y(x)=y′(x)(X—x),所以YP=y(x)一y′(x)x;对应的法线方程为Y—y(x)=一[*](X—x),所以XP=x+y(x)y′(x). 由Xp=Yp得y(x)一xy′(x)=x+y(x)y′(x),即 [*] 这是一个齐次方程,可令u=[*],则u+x[*] 整理得x[*],分离变量得,[*]. 积分得[*]ln(1+u2)+arctanu=一lnx+c. 又由y(1)=0得c=0,故L上点的坐标(x,y)满足的方程为 [*]+arctan[*]=一lnx,x∈(0,[*]).

解析
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