设函数f在[a，b]上连续，且f(x)＞0，若F(x)=∫axf(t)dt+∫bxdt，证明：方程F(x)=0在(a，b)内有且只有一个根．

admin2019-03-06 75

问题设函数f在[a，b]上连续，且f(x)＞0，若F(x)=∫_a^xf(t)dt+∫_b^x

dt，证明：
方程F(x)=0在(a，b)内有且只有一个根．

选项

答案因为F(a)=∫_b^a[*]dt=—∫_a^b[*] dt＜0，F(b)=∫_a^bf(t)dt＞0，所以由闭区间上连续函数的根的存在性定理可知，方程F(x)=0在(a，b)内至少存在一个根，又由于F(x)在[a，b]上严格单调增加，所以方程F(x)=0在(a，b)内有且只有一个根．

解析

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高等数学一

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