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设f(x)在区间[0,1]上连续,证明:∫01f(x)dx∫x1f(y)dy=[∫01f(x)dx]2.
设f(x)在区间[0,1]上连续,证明:∫01f(x)dx∫x1f(y)dy=[∫01f(x)dx]2.
admin
2018-06-27
96
问题
设f(x)在区间[0,1]上连续,证明:∫
0
1
f(x)dx∫
x
1
f(y)dy=
[∫
0
1
f(x)dx]
2
.
选项
答案
先将累次积分表示成二重积分,则有 I=∫
0
1
f(x)dx∫
x
1
f(yy)dy=[*]f(x)f(y)dxdy, 其中D={(x,y)|0≤x≤1,x≤y≤1},如图8.28,它与D’={(x,y)|0≤x≤ 1,0≤y≤x}关于y=x对称.于是 I=[*]f(x)f(y)dxdy, 2I=[*]f(x)f(y)dxdy+[*]f(x)f(y)dxdy=∫
0
1
dx∫
0
1
f(x)f(y)dy =∫
0
1
f(x)dx.∫
0
1
f(y)dy=[∫
0
1
f(y)dx]
2
, 因此,I=[*][∫
0
1
f(x)dx]
2
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Kak4777K
0
考研数学二
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