设f(x)在区间[0，1]上连续，证明：∫01f(x)dx∫x1f(y)dy=[∫01f(x)dx]2．

admin2018-06-27 39

问题设f(x)在区间[0，1]上连续，证明：∫₀¹f(x)dx∫_x¹f(y)dy=

[∫₀¹f(x)dx]²．

选项

答案先将累次积分表示成二重积分，则有 I=∫₀¹f(x)dx∫_x¹f(yy)dy=[*]f(x)f(y)dxdy，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，x≤y≤1}，如图8．28，它与D’={(x，y)｜0≤x≤ 1，0≤y≤x}关于y=x对称．于是 I=[*]f(x)f(y)dxdy， 2I=[*]f(x)f(y)dxdy+[*]f(x)f(y)dxdy=∫₀¹dx∫₀¹f(x)f(y)dy =∫₀¹f(x)dx.∫₀¹f(y)dy=[∫₀¹f(y)dx]²，因此，I=[*][∫₀¹f(x)dx]²．

解析

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考研数学二

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微分方程yy’’一(y’)2=0满足y(0)=1与y’(0)=1的特解是_________．
计算二重积分．其中D={(x，y)｜x2+y2≤a2，常数a>0}．
函数u=xyz2在条件x2+y2+z2=4(x>0，y>0，z>0)下的最大值是
已知A是3阶矩阵，αi(i=1，2，3)是3维非零列向量，若Aαi=iαi(i=1，2，3)，令α=α1+α2+α3设P=(α，Aα，A2α)，求P-1AP．
曲线的凸区间是_________．
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(I)设A，B是n阶矩阵，A有特征值λ=1，2，…，n．证明：AB和BA有相同的特征值，且AB~BA；(II)对一般的n阶矩阵A，B，是否必有AB~BA?说明理由．
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