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  3. 设f(x)在区间[0，1]上连续，证明：∫01f(x)dx∫x1f(y)dy=[∫01f(x)dx]2．

设f(x)在区间[0，1]上连续，证明：∫01f(x)dx∫x1f(y)dy=[∫01f(x)dx]2．

admin2018-06-27  96
问题 设f(x)在区间[0，1]上连续，证明：∫01f(x)dx∫x1f(y)dy=[∫01f(x)dx]2．
选项
答案先将累次积分表示成二重积分，则有 I=∫01f(x)dx∫x1f(yy)dy=[*]f(x)f(y)dxdy， 其中D={(x，y)｜0≤x≤1，x≤y≤1}，如图8．28，它与D’={(x，y)｜0≤x≤ 1，0≤y≤x}关于y=x对称．于是 I=[*]f(x)f(y)dxdy， 2I=[*]f(x)f(y)dxdy+[*]f(x)f(y)dxdy=∫01dx∫01f(x)f(y)dy =∫01f(x)dx.∫01f(y)dy=[∫01f(y)dx]2， 因此，I=[*][∫01f(x)dx]2．
解析
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考研数学二

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