若A是n阶正定矩阵，证明A－1，A*是正定矩阵．

admin2017-08-18 21

问题若A是n阶正定矩阵，证明A^－1，A^*是正定矩阵．

选项

答案因A正定，所以A^T＝A．那么(A^－1)^T＝(A^T)^－1＝A^－1，即A^－1是实对称矩阵? 设A的特征值是λ₁，λ₂，…，λ_n，那么A^－1的特征值是[*]，由A正定知λ_i>0(i＝l，2，…， n)．因此A^－1的特征值[*](i＝1，2，…，n)．从而^－1正定． A^*＝｜A｜A^－1，｜A｜>0，则A^*也是实对称矩阵，并且特征值为 [*] 都大于0．从而A^*正定．

解析

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