(15年)设矩阵A＝相似于矩阵B＝． (Ⅰ)求a，b的值； (Ⅱ)求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．

admin2021-01-25 87

问题 (15年)设矩阵A＝

相似于矩阵B＝

．
(Ⅰ)求a，b的值；
(Ⅱ)求可逆矩阵P，使P^-1AP为对角矩阵．

选项

答案(Ⅰ)由于矩阵A与B相似，所以二矩阵有相同的迹(主对角线元素之和)、有相同的行列式，由此得 a＋3＝b＋2，2a－3＝b 解得a＝4，b＝5． (Ⅱ)由于矩阵A与B相似，所以它们有相同的特征多项式：｜λE－A｜＝｜λE－B｜＝(λ－1)²(λ－5) 由此得A的特征值为λ₁＝λ₂＝1，λ₃＝5 对于λ₁＝λ₂＝1，解方程组(E－A)χ＝0，有 [*]．得对应于λ₁＝λ₂＝1的线性无关特征向量 [*] 对于λ₃＝5，解方程组(5E－A)χ＝0，由 [*] 得对应于λ＝5的特征向量 ξ₃＝[*] 令矩阵P＝[ξ₁ ξ₂ ξ₃]＝[*] 则矩阵P可作为所求的可逆矩阵，使得 P^-1AP＝[*]为对角矩阵．

解析

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考研数学三

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