(15年)设矩阵A=相似于矩阵B=. (Ⅰ)求a,b的值; (Ⅱ)求可逆矩阵P,使P-1AP为对角矩阵.

admin2021-01-25  62

问题 (15年)设矩阵A=相似于矩阵B=
    (Ⅰ)求a,b的值;
    (Ⅱ)求可逆矩阵P,使P-1AP为对角矩阵.

选项

答案(Ⅰ)由于矩阵A与B相似,所以二矩阵有相同的迹(主对角线元素之和)、有相同的行列式,由此得 a+3=b+2,2a-3=b 解得a=4,b=5. (Ⅱ)由于矩阵A与B相似,所以它们有相同的特征多项式: |λE-A|=|λE-B|=(λ-1)2(λ-5) 由此得A的特征值为λ1=λ2=1,λ3=5 对于λ1=λ2=1,解方程组(E-A)χ=0,有 [*]. 得对应于λ1=λ2=1的线性无关特征向量 [*] 对于λ3=5,解方程组(5E-A)χ=0,由 [*] 得对应于λ=5的特征向量 ξ3=[*] 令矩阵P=[ξ1 ξ2 ξ3]=[*] 则矩阵P可作为所求的可逆矩阵,使得 P-1AP=[*]为对角矩阵.

解析
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