2. 考研
  3. (15年)设矩阵A＝相似于矩阵B＝． (Ⅰ)求a，b的值； (Ⅱ)求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．

(15年)设矩阵A＝相似于矩阵B＝． (Ⅰ)求a，b的值； (Ⅱ)求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．

admin2021-01-25  105
问题 (15年)设矩阵A＝相似于矩阵B＝．
    (Ⅰ)求a，b的值；
    (Ⅱ)求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．
选项
答案(Ⅰ)由于矩阵A与B相似，所以二矩阵有相同的迹(主对角线元素之和)、有相同的行列式，由此得 a＋3＝b＋2，2a－3＝b 解得a＝4，b＝5． (Ⅱ)由于矩阵A与B相似，所以它们有相同的特征多项式： ｜λE－A｜＝｜λE－B｜＝(λ－1)2(λ－5) 由此得A的特征值为λ1＝λ2＝1，λ3＝5 对于λ1＝λ2＝1，解方程组(E－A)χ＝0，有 [*]． 得对应于λ1＝λ2＝1的线性无关特征向量 [*] 对于λ3＝5，解方程组(5E－A)χ＝0，由 [*] 得对应于λ＝5的特征向量 ξ3＝[*] 令矩阵P＝[ξ1 ξ2 ξ3]＝[*] 则矩阵P可作为所求的可逆矩阵，使得 P-1AP＝[*]为对角矩阵．
解析
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考研数学三

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