2. 考研
  3. 设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n＜m，E是n阶单位矩阵，若AB=E，证明B的列向量组线性无关．

设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n＜m，E是n阶单位矩阵，若AB=E，证明B的列向量组线性无关．

admin2020-03-10  25
问题 设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n＜m，E是n阶单位矩阵，若AB=E，证明B的列向量组线性无关．
选项
答案【证法1】 用定义证明．将矩阵B按列分块，得B=(β1，β2，…，βn)，若有一组数k1，k2，…，kn，使得 k1β1+k2β2+…+knβn=0， 则 [*] 由于AB=E，在等式两端左乘矩阵A得 [*] 即k1=0，k2=0，…，kn=0，从而向量组β1，β2，…，βn线性无关． 【证法2】 由于B是m×n矩阵，所以r(B)≤n，另一方面， r(B)≥r(AB)=r(E)=n， 所以r(B)=n，故B的列向量组β1，β2，…，βn性无关．
解析
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考研数学三

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