2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=1，试证存在ξ，η∈(a，b)，使eη-ξ[f(η)+f’(η)]=1。

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=1，试证存在ξ，η∈(a，b)，使eη-ξ[f(η)+f’(η)]=1。

admin2019-01-15  41
问题 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=1，试证存在ξ，η∈(a，b)，使eη-ξ[f(η)+f’(η)]=1。
选项
答案构造辅助函数g(x)=ex，则g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导。由拉格朗日中值定理，至少存在一点ξ∈(a，b)，使得[*]。 另作辅助函数F(x)=exf(x)，F(x)在[a，b]连续，(a，b)内可导，由拉格朗日中值定理得，至少存在一点η∈(a，b)，使得[*]，即 [*] 从而有eη[f(η)+f’(η)]=eξ。即eη-ξ[f(η)+f’(η)]=1。
解析
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考研数学三

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