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设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=1,试证存在ξ,η∈(a,b),使eη-ξ[f(η)+f’(η)]=1。
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=1,试证存在ξ,η∈(a,b),使eη-ξ[f(η)+f’(η)]=1。
admin
2019-01-15
38
问题
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=1,试证存在ξ,η∈(a,b),使e
η-ξ
[f(η)+f
’
(η)]=1。
选项
答案
构造辅助函数g(x)=e
x
,则g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导。由拉格朗日中值定理,至少存在一点ξ∈(a,b),使得[*]。 另作辅助函数F(x)=e
x
f(x),F(x)在[a,b]连续,(a,b)内可导,由拉格朗日中值定理得,至少存在一点η∈(a,b),使得[*],即 [*] 从而有e
η
[f(η)+f
’
(η)]=e
ξ
。即e
η-ξ
[f(η)+f
’
(η)]=1。
解析
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考研数学三
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