2. 考研
  3. 设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足 Aa 1=2α1+α2—α3， Aα2=α1+2α2+α3， Aα3=一α1+α2+2α3． (1)计算行列式｜A+E｜； (2)求秩r(3E—A)； (3

设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足 Aa 1=2α1+α2—α3， Aα2=α1+2α2+α3， Aα3=一α1+α2+2α3． (1)计算行列式｜A+E｜； (2)求秩r(3E—A)； (3

admin2020-03-10  28
问题 设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足
    Aa 1=2α1+α2—α3，  Aα2=α1+2α2+α3，  Aα3=一α1+α2+2α3．
    (1)计算行列式｜A+E｜；
    (2)求秩r(3E—A)；
    (3)求A的特征值，并求可逆矩阵P，使P—1AP为对角矩阵．
选项
答案[*] 得矩阵B，也即矩阵A的特征值为λ1=λ2=3，λ3=0． 对应于λ1=λ2=3，解(3E—B)x=0，得基础解系为ξ1=(1，1，0)T，ξ2=(一1，0，1)T； 对应于λ3=0，解(0E—B)x=0，得ξ3=(0，1，1)T． 令P2=[ξ1，ξ2，ξ3]，则P2—1BP2=[*]， 因P1—1BP1=P1—1P1—1AP1P2=(P1P2)—1A(P1P2)=[*]， 记矩阵P=P1P2=[α1，α2，α3][*]=[α1+α2，一α1+α3，α2+α3]， 则P即为所求矩阵，且P—1AP=[*]。
解析
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考研数学三

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