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设A为三阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的三维列向量,且满足 Aa 1=2α1+α2—α3, Aα2=α1+2α2+α3, Aα3=一α1+α2+2α3. (1)计算行列式|A+E|; (2)求秩r(3E—A); (3
设A为三阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的三维列向量,且满足 Aa 1=2α1+α2—α3, Aα2=α1+2α2+α3, Aα3=一α1+α2+2α3. (1)计算行列式|A+E|; (2)求秩r(3E—A); (3
admin
2020-03-10
71
问题
设A为三阶矩阵,α
1
,α
2
,α
3
是线性无关的三维列向量,且满足
Aa 1=2α
1
+α
2
—α
3
, Aα
2
=α
1
+2α
2
+α
3
, Aα
3
=一α
1
+α
2
+2α
3
.
(1)计算行列式|A+E|;
(2)求秩r(3E—A);
(3)求A的特征值,并求可逆矩阵P,使P
—1
AP为对角矩阵.
选项
答案
[*] 得矩阵B,也即矩阵A的特征值为λ
1
=λ
2
=3,λ
3
=0. 对应于λ
1
=λ
2
=3,解(3E—B)x=0,得基础解系为ξ
1
=(1,1,0)
T
,ξ
2
=(一1,0,1)
T
; 对应于λ
3
=0,解(0E—B)x=0,得ξ
3
=(0,1,1)
T
. 令P
2
=[ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
],则P
2
—1
BP
2
=[*], 因P
1
—1
BP
1
=P
1
—1
P
1
—1
AP
1
P
2
=(P
1
P
2
)
—1
A(P
1
P
2
)=[*], 记矩阵P=P
1
P
2
=[α
1
,α
2
,α
3
][*]=[α
1
+α
2
,一α
1
+α
3
,α
2
+α
3
], 则P即为所求矩阵,且P
—1
AP=[*]。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/KkD4777K
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考研数学三
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