设A为三阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的三维列向量,且满足 Aa 1=2α1+α2—α3, Aα2=α1+2α2+α3, Aα3=一α1+α2+2α3. (1)计算行列式|A+E|; (2)求秩r(3E—A); (3

admin2020-03-10  32

问题 设A为三阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的三维列向量,且满足
    Aa 1=2α12—α3,  Aα21+2α23,  Aα3=一α12+2α3
    (1)计算行列式|A+E|;
    (2)求秩r(3E—A);
    (3)求A的特征值,并求可逆矩阵P,使P—1AP为对角矩阵.

选项

答案[*] 得矩阵B,也即矩阵A的特征值为λ12=3,λ3=0. 对应于λ12=3,解(3E—B)x=0,得基础解系为ξ1=(1,1,0)T,ξ2=(一1,0,1)T; 对应于λ3=0,解(0E—B)x=0,得ξ3=(0,1,1)T. 令P2=[ξ1,ξ2,ξ3],则P2—1BP2=[*], 因P1—1BP1=P1—1P1—1AP1P2=(P1P2)—1A(P1P2)=[*], 记矩阵P=P1P2=[α1,α2,α3][*]=[α12,一α13,α23], 则P即为所求矩阵,且P—1AP=[*]。

解析
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