2. 考研
  3. (1)设λ1，λ2，…，λn是n阶矩阵A的互异特征值，α1，α2，…，αn是A的分别对应于这些特征值的特征向量，证明α1，α2，…，αn线性无关； (2)设A，B为n阶方阵，|B|≠0，若方程|A一λB|=0的全部根λ1，λ2，…，λn互异，αi分

(1)设λ1，λ2，…，λn是n阶矩阵A的互异特征值，α1，α2，…，αn是A的分别对应于这些特征值的特征向量，证明α1，α2，…，αn线性无关； (2)设A，B为n阶方阵，|B|≠0，若方程|A一λB|=0的全部根λ1，λ2，…，λn互异，αi分

admin2019-01-05  61
问题 (1)设λ1，λ2，…，λn是n阶矩阵A的互异特征值，α1，α2，…，αn是A的分别对应于这些特征值的特征向量，证明α1，α2，…，αn线性无关；
    (2)设A，B为n阶方阵，|B|≠0，若方程|A一λB|=0的全部根λ1，λ2，…，λn互异，αi分别是方程组(A—λiB)x=0的非零解，i=1，2，…，n．证明α1，α2，…，αn线性无关．
选项
答案(1)用数学归纳法． ①由特征向量α1≠0，故α1线性无关； ②假设前k一1个向量α1，α2，…，αk-1线性无关，以下证明α1，α2，…，αk线性无关．k个互异特征值λ1，λ2，…，λk对应着特征向量α1，α2，…，αk．现设存在一组数l1，l2，…，lk，使得 l1α1+l2α2+…+lkαk=0， (*) 在(*)式两端左边乘A，有l1Aα1+l2Aα2+…+lkAαk=0，即 l1λ1α1+l2λ2α2+…+lkλkαk=0． (**) 又在(*)式两端左边乘λk，有l1λ1α1+l2λ2α2+…+lkλkαk=0． (***) 用(**)式减去(***)式，得 l1(λ1—λk)α1+l2(λ2一λk)α2+…+lk-1(λk-1一λk)αk-1=0． 由归纳假设α1，α2，…，αk-1线性无关，故 l1(λ1一λk)=l2(λ2一λk)=…=lk-1(λk-1一λk)=0， 又λi—λk≠0(i=1，2，…，k一1)，故l1=l2=…=lk-1=0． 代回(*)式，于是lkαk=0，由αk≠0，有lk=0，于是α1，α2，…,αk线性无关． 即A的n个互异特征值对应的特征向量α1，α2，…，αn线性无关． (2)由|B|≠0，在|A一λB|=0两端左边乘|B-1|，有 |B-1A一λE|=0，即|λE一B-1A|=0， 于是λ1，λ2，…，λn是矩阵B-1A的n个互异特征值． 又由(A-λiB)x=0，两端左边乘B-1，有 (B-1A—λiE)x=0，即(λiE一B-1A)x=0，故α1，α2，…，αn为B-1A的对应于λ1，λ2，…，λn的特征向量，由(1)知，α1，α2，…，αn线性无关．
解析
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考研数学三

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