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  3. 证明不等式3x＜tanx+2sinx，x∈(0，)。

证明不等式3x＜tanx+2sinx，x∈(0，)。

admin2017-11-30  79
问题 证明不等式3x＜tanx+2sinx，x∈(0，)。
选项
答案设 f(x)=tanx+2sinx－3x，x∈(0，[*])， 则 f’(x)=sec2x +2cosx－3， f"(x) =2 sec2xtanx－2sinx=2sinx(sec3－1)， 由于当x∈(0，[*])时sinx＞0，sec3x－1＞0，则f"(x)＞0，函数 f’(x)=sec2x+2cosx－3 为增函数，且f’ (0)=0，因此x∈(0，[*])时， f’ (x)=sec2x+2cosx－3＞0， 进一步得函数f(0)为增函数，由于f(0)=0，因此 f(x)=tanx+2sinx－3x＞f(0)=0，x∈(0，[*])， 即不等式3x＜tanx+2sinx，x∈(0，[*])成立。
解析
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考研数学三

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