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考研
证明不等式3x<tanx+2sinx,x∈(0,)。
证明不等式3x<tanx+2sinx,x∈(0,)。
admin
2017-11-30
63
问题
证明不等式3x<tanx+2sinx,x∈(0,
)。
选项
答案
设 f(x)=tanx+2sinx-3x,x∈(0,[*]), 则 f’(x)=sec
2
x +2cosx-3, f"(x) =2 sec
2
xtanx-2sinx=2sinx(sec
3
-1), 由于当x∈(0,[*])时sinx>0,sec
3
x-1>0,则f"(x)>0,函数 f’(x)=sec
2
x+2cosx-3 为增函数,且f’ (0)=0,因此x∈(0,[*])时, f’ (x)=sec
2
x+2cosx-3>0, 进一步得函数f(0)为增函数,由于f(0)=0,因此 f(x)=tanx+2sinx-3x>f(0)=0,x∈(0,[*]), 即不等式3x<tanx+2sinx,x∈(0,[*])成立。
解析
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考研数学三
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