(1999年)设函数f(χ)在闭区间[－1，1]上具有三阶连续导数，且f(－1)＝0，f(1)＝1，f′(0)＝0，证明：在开区间(－1，1)内至少存在一点ξ，使f〞(ξ)＝3．

admin2021-01-19 96

问题 (1999年)设函数f(χ)在闭区间[－1，1]上具有三阶连续导数，且f(－1)＝0，f(1)＝1，f′(0)＝0，证明：在开区间(－1，1)内至少存在一点ξ，使f〞(ξ)＝3．

选项

答案由泰勒中值定理可知 f(χ)＝f(0)＋f′(0)χ＋[*](η)χ³ 其中η介于0与χ之间，χ∈[－1，1] 分别令χ＝－1和χ＝1，并结合已知条件得 0＝f(－1)＝f(0)＋[*](η₁)，－1＜η₁＜0 1＝f(1)＝f(0)＋[*](η₂)， 0＜η₂＜1 两式相减可得 f′〞(η₁)＋f′〞(η₂)＝6 由f′〞(χ)的连续性，f′〞(χ)在闭区间[η₁，η₂]上有最大值和最小值，设它们分别为M和m，则有 m≤[*]≤M 再由连续函数的介值定理知，至少存在一点ξ∈[η₁，η₂][*](－1，1) 使[*]＝3

解析

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考研数学二

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(1999年)设函数f(χ)在闭区间[－1，1]上具有三阶连续导数，且f(－1)＝0，f(1)＝1，f′(0)＝0，证明：在开区间(－1，1)内至少存在一点ξ，使f〞(ξ)＝3．

考研数学二

求下列y(n)：

设曲线y=ax2(a≥0，常数a＞0)与曲线y=1一x2交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y=ax2围成一平面图形D．求D绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积V(a)；

η是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ1，…，ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明：η，ξ1，…，ξn-r线性无关；

设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1，且满足等式f’(x)+f(x)一∫0xf(t)dt=0。证明当x≥0时，成立不等式e—x≤f(x)≤1。

已知(1，－1，1，－1)T是线性方程组的一个解，试求(1)该方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；(2)该方程组满足χ2＝χ3的全部分．

设(Ⅰ)和(Ⅱ)都是3元非齐次线性方程组，(Ⅰ)有通解ξ1+c1η1+c2η2，ξ1=(1，0，1)，η1=(1，1，0)，η2=(1，2，1)；(Ⅱ)有通解ξ2+cη，ξ2=(0，1，2)，η=(1，1，2)．求(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解．

设f(χ)在区间[a，b]上二阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫abf(χ)dχ＝(b－a)ff〞(ξ)．

设y=f(x)为区间[0，1]上的非负连续函数．证明存在c∈(0，1)，使得在区间[0，c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积；

设函数f(χ)在区间[0，1]上连续，并设，∫01f(χ)dχ＝a，求∫01dχ∫χ1f(χ)f(y)dy．

关于宫颈糜烂的物理治疗，下列说法正确的有：

根据国家测绘局《关于加强涉密测绘成果管理工作的通知》，下列说法正确的是()。

下列关于土地增值税的特点描述有误的是()。

关于移动式操作平台安全控制要点的描述，正确的有()。

先行组织者教学技术常用于()

不是凭借教授的知识，而是凭借提问，刺激对方思考，通过对方的思考亲自发现真理。提出这种教育方法的教育家是()。

在1947年的12月会议上毛泽东提出在土地改革中必须注意的两项基本原则是(　　)

在学生表中要查找所有年龄大于30岁姓王的男同学，应该采用的关系运算是(　　)。

SeatedExerciseSeries:ChairAerobicsWhenmostpeoplethinkofexercise,theyusuallythinkofthingslikerunning,jogging,j

(1999年)设函数f(χ)在闭区间[－1，1]上具有三阶连续导数，且f(－1)＝0，f(1)＝1，f′(0)＝0，证明：在开区间(－1，1)内至少存在一点ξ，使f〞(ξ)＝3．

考研数学二

求下列y(n)：

设曲线y=ax2(a≥0，常数a＞0)与曲线y=1一x2交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y=ax2围成一平面图形D．求D绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积V(a)；

η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ1，…，ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明：η*，ξ1，…，ξn-r线性无关；

设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1，且满足等式f’(x)+f(x)一∫0xf(t)dt=0。证明当x≥0时，成立不等式e—x≤f(x)≤1。

已知(1，－1，1，－1)T是线性方程组的一个解，试求(1)该方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；(2)该方程组满足χ2＝χ3的全部分．

设(Ⅰ)和(Ⅱ)都是3元非齐次线性方程组，(Ⅰ)有通解ξ1+c1η1+c2η2，ξ1=(1，0，1)，η1=(1，1，0)，η2=(1，2，1)；(Ⅱ)有通解ξ2+cη，ξ2=(0，1，2)，η=(1，1，2)．求(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解．

设f(χ)在区间[a，b]上二阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫abf(χ)dχ＝(b－a)ff〞(ξ)．

设y=f(x)为区间[0，1]上的非负连续函数．证明存在c∈(0，1)，使得在区间[0，c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积；

设函数f(χ)在区间[0，1]上连续，并设，∫01f(χ)dχ＝a，求∫01dχ∫χ1f(χ)f(y)dy．

关于宫颈糜烂的物理治疗，下列说法正确的有：

根据国家测绘局《关于加强涉密测绘成果管理工作的通知》，下列说法正确的是()。

下列关于土地增值税的特点描述有误的是()。

关于移动式操作平台安全控制要点的描述，正确的有()。

先行组织者教学技术常用于()

不是凭借教授的知识，而是凭借提问，刺激对方思考，通过对方的思考亲自发现真理。提出这种教育方法的教育家是()。

在1947年的12月会议上毛泽东提出在土地改革中必须注意的两项基本原则是( )

在学生表中要查找所有年龄大于30岁姓王的男同学，应该采用的关系运算是( )。

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η是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ1，…，ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明：η，ξ1，…，ξn-r线性无关；

在1947年的12月会议上毛泽东提出在土地改革中必须注意的两项基本原则是(　　)

在学生表中要查找所有年龄大于30岁姓王的男同学，应该采用的关系运算是(　　)。