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  3. (1)证明方程xn+xn-1+…+x=1(n为大于1的整数)在区间(，1)内有且仅有一个实根； (2)记上题中的实根为xn，证明xn存在，并求此极限。[img][/img]

(1)证明方程xn+xn-1+…+x=1(n为大于1的整数)在区间(，1)内有且仅有一个实根； (2)记上题中的实根为xn，证明xn存在，并求此极限。[img][/img]

admin2019-07-22  54
问题 (1)证明方程xn+xn-1+…+x=1(n为大于1的整数)在区间(，1)内有且仅有一个实根；
(2)记上题中的实根为xn，证明xn存在，并求此极限。[img][/img]
选项
答案(1)根据题意，令 f(x)=xn+xn-1+…+x一1， 则f(1)>0，又 [*] 结合零点定理可得f(x)=xn+xn-1+…+x一1在[*]内至少存在一个零点，即方程xn+xn-1+…+x=1在区间[*]内至少有一个实根。 又因为f(x)=xn+xn-1+…+x一1在[*]上是单调的，可知f(x)=xn+xn-1+…+x一1在[*]内最多只有一个零点。 综上所述，方程xn+xn-1+…+x=1在区间[*]内有且仅有一个实根。 (2)由题设f(xn)=0，可知xnn+xnn-1+…+xn一1=0，进而有xn+1n+1+xn+1n+。+…+xn+1一1=0， 所以 xn+1n+xn+1n+1+…+xn+1+1一1＜0， 比较上面两个式子可知xn+1＜xn，故{xn}单调递减。 又由(1)知[*]，也即{xn}是有界的。则由单调有界收敛定理可知{xn}收敛，假设[*]，可知a＜x2＜x1=1。 当n→∞时，有 [*] 解得[*]。
解析
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考研数学二

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