(1)设x>0,y>0,z>0,求函数f(x,y,z)=xyz3在约束条件x2+y2+z2=5R2(R>0为常数)下的最大值; (2)由(1)的结论证明:当a>0,b>0,c>0时,下述不等式成立:

admin2018-11-22  26

问题 (1)设x>0,y>0,z>0,求函数f(x,y,z)=xyz3在约束条件x2+y2+z2=5R2(R>0为常数)下的最大值;
(2)由(1)的结论证明:当a>0,b>0,c>0时,下述不等式成立:

选项

答案(1)由拉格朗日乘数法,设 F(x,y,z,λ)=xyz3+λ(x2+y2+z2-5R2), 令 [*] 由①,②得λ(x=y)=0.若λ=0,则有xyz=0,与题设条件x>0,y>0,z>0不符,故得x=y,因此得 z3+2λ=0,3x2z+2λ=0,2x2+z2=5R2. 于是得 3x2-z2=0及2x2+z2=5R2, 从而得唯一的一组解: x=R,y=R, [*] 此时对应的f(x,y,z)=xyz3在约束条件x2+y2+z2=5R2下达到最大: [*] (2)由(1)已知,当x2+y2+z2=5R2且x>0,y>0,z>0时, [*] 令a=x2,b=y2,c=z2,有 [*] 证毕.

解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/KsM4777K
0

最新回复(0)