已知A=，且A的行和相等。 A能否相似对角化，若能，请求出正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵，若不能，请说明理由。

admin2017-01-16 29

问题已知A=

，且A的行和相等。
A能否相似对角化，若能，请求出正交矩阵Q使得Q^TAQ为对角矩阵，若不能，请说明理由。

选项

答案将a和b的值代入矩阵得 [*] 可知A是实对称矩阵，故A一定可以相似对角化。由|λE-A|=0可得 (λ+1)²(λ-5)=0，解得λ=-1(二重根)和5。由(-E-A)x=0可得线性方程组的基础解系为 (1，0，-1)^T，(0，1，-1)^T，即特征值-1所对的两个线性无关的特征向量为 α₁=(1，0，-1)^T，α₂=(0，1，-1)^T。又因矩阵A的行和为5，所以特征值5对应的一个特征向量为α₃=(1，1，1)^T。将上述三个向量正交化，得 β₁=(1，0，-1)^T， β₂=α₂-[*])^T， β₃=(1，1，1)^T，将其单位化即得正交矩阵 [*]

解析

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考研数学一

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已知A=，且A的行和相等。 A能否相似对角化，若能，请求出正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵，若不能，请说明理由。

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