2. 考研
  3. 已知对于n阶方阵A，存在自然数k，使得Ak=0，试证明矩阵E一A可逆，并写出其逆矩阵的表达式(E为n阶单位阵)．

已知对于n阶方阵A，存在自然数k，使得Ak=0，试证明矩阵E一A可逆，并写出其逆矩阵的表达式(E为n阶单位阵)．

admin2015-09-12  71
问题 已知对于n阶方阵A，存在自然数k，使得Ak=0，试证明矩阵E一A可逆，并写出其逆矩阵的表达式(E为n阶单位阵)．
选项
答案由Ak=0，有 (E—A)(E+A+…+Ak-1)=E+A+…+Ak-1一A一…一Ak-1一Ak=E—Ak=E，由逆矩阵的定义即知E—A可逆，且有 (E一A)-1=E+A+…+Ak-1
解析 本题主要考查逆矩阵的定义及方阵多项式的乘法．注意，若同阶方阵A、B满足AB=E，则有A-1=B，B-1=A．因此，要验证B是A的逆矩阵，只需验证AB=E或BA=E二者之一就够了．本题中(E—A)-1的表达式是如何想到的呢?读者可以类比多项式的乘法：(1一x)(1+x+…+xk-1)=1一xk．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/KvU4777K
0

考研数学三

相关试题推荐
随机试题
最新回复(0)