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已知对于n阶方阵A,存在自然数k,使得Ak=0,试证明矩阵E一A可逆,并写出其逆矩阵的表达式(E为n阶单位阵).
已知对于n阶方阵A,存在自然数k,使得Ak=0,试证明矩阵E一A可逆,并写出其逆矩阵的表达式(E为n阶单位阵).
admin
2015-09-12
82
问题
已知对于n阶方阵A,存在自然数k,使得A
k
=0,试证明矩阵E一A可逆,并写出其逆矩阵的表达式(E为n阶单位阵).
选项
答案
由A
k
=0,有 (E—A)(E+A+…+A
k-1
)=E+A+…+A
k-1
一A一…一A
k-1
一A
k
=E—A
k
=E,由逆矩阵的定义即知E—A可逆,且有 (E一A)
-1
=E+A+…+A
k-1
解析
本题主要考查逆矩阵的定义及方阵多项式的乘法.注意,若同阶方阵A、B满足AB=E,则有A
-1
=B,B
-1
=A.因此,要验证B是A的逆矩阵,只需验证AB=E或BA=E二者之一就够了.本题中(E—A)
-1
的表达式是如何想到的呢?读者可以类比多项式的乘法:(1一x)(1+x+…+x
k-1
)=1一x
k
.
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考研数学三
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