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设函数f在x0点的某空心右邻域U+0(x0)有定义.则对任何以x0为极限的递减数列{xn}U+0(x0),有f(xn)=A.
设函数f在x0点的某空心右邻域U+0(x0)有定义.则对任何以x0为极限的递减数列{xn}U+0(x0),有f(xn)=A.
admin
2022-10-31
46
问题
设函数f在x
0
点的某空心右邻域U
+
0
(x
0
)有定义.则
对任何以x
0
为极限的递减数列{x
n
}
U
+
0
(x
0
),有
f(x
n
)=A.
选项
答案
充分性 设对任何以x
0
为极限的递减数列{x
n
}[*]U
+
0
(x
0
),有[*]f(x
n
)=A.现用反证法证明[*]ε
0
>0,不论δ(>0)多么小,总存在一点x’,使得x
0
<x’<x
0
+δ并且|f(x’)-A|>ε
0
.取δ=1/n(n=1,2,…),因此可以取到数列x
1
,x
2
,…,x
n
,…,使之满足x
1
>x
2
>…>x
n
>…,x
0
<x
n
<x
0
+[*],x
n
∈U
+
0
(x
0
),且|f(x
n
)-A|≥ε
0
. 显然,{x
n
)[*]U
+
0
(x
0
)单调递减,且[*]与题设矛盾.故[*] 必要性 设[*]使得当x
0
<x<x
0
+δ时,有|f(x)-A|<ε.设递减数列{x
n
}[*]U
+
0
(x
0
),且[*]x
n
=x
0
,则对上述δ>0,[*]N∈N
+
,s.t.n>N时,有x
0
<x
n
<x
0
+δ.从而当n>N时有|f(x
n
)-A|<ε.从而[*]f(x
n
)=A.
解析
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0
考研数学二
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