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[2004年]设e<a<b<e2,证明:ln2b—ln2a>4(6-a)/e2.
[2004年]设e<a<b<e2,证明:ln2b—ln2a>4(6-a)/e2.
admin
2021-01-15
13
问题
[2004年]设e<a<b<e
2
,证明:ln
2
b—ln
2
a>4(6-a)/e
2
.
选项
答案
对函数ln
2
x在[a,b]上应用拉格朗日中值定理,得到 ln
2
b—ln
2
a=(ln
2
x)’|
x=ξ
(b-a)=[(2lnξ)/ξ](b-a),a<ξ<b. 与待证不等式比较即归结为证明(lnξ)/ξ>2e
2
.令φ(t)=(lnt)/t,而φ(e
2
)=2/e
2
>0,为此证φ(t)单调下降.由φ’(t)=(1一lnt)/t
2
易看出,当t>e时,1一lnt<0,从而φ’(t)<0,φ(t)在(e,e
2
)单调下降.因e<a<ξ<b<e
2
,故 φ(ξ)>φ(e
2
), 即 (lnξ)/ξ>(lne
2
)/e
2
=2/e
2
. 于是 ln
2
b—ln
2
a>4(6-a)/e
2
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/L2q4777K
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考研数学一
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