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  3. [2004年]设e＜a＜b＜e2，证明：ln2b—ln2a＞4(6-a)／e2．

[2004年]设e＜a＜b＜e2，证明：ln2b—ln2a＞4(6-a)／e2．

admin2021-01-15  11
问题 [2004年]设e＜a＜b＜e2，证明：ln2b—ln2a＞4(6-a)／e2．
选项
答案对函数ln2x在[a，b]上应用拉格朗日中值定理，得到 ln2b—ln2a=(ln2x)’｜x=ξ(b-a)=[(2lnξ)／ξ](b-a)，a＜ξ＜b． 与待证不等式比较即归结为证明(lnξ)／ξ＞2e2．令φ(t)=(lnt)／t，而φ(e2)=2／e2＞0，为此证φ(t)单调下降．由φ’(t)=(1一lnt)／t2易看出，当t＞e时，1一lnt＜0，从而φ’(t)＜0，φ(t)在(e，e2)单调下降．因e＜a＜ξ＜b＜e2，故 φ(ξ)＞φ(e2)， 即 (lnξ)／ξ＞(lne2)／e2=2／e2． 于是 ln2b—ln2a＞4(6-a)／e2．
解析
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考研数学一

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