[2004年]设e＜a＜b＜e2，证明：ln2b—ln2a＞4(6-a)／e2．

admin2021-01-15 6

问题 [2004年]设e＜a＜b＜e²，证明：ln²b—ln²a＞4(6-a)／e²．

选项

答案对函数ln²x在[a，b]上应用拉格朗日中值定理，得到 ln²b—ln²a=(ln²x)’｜_x=ξ(b-a)=[(2lnξ)／ξ](b-a)，a＜ξ＜b．与待证不等式比较即归结为证明(lnξ)／ξ＞2e²．令φ(t)=(lnt)／t，而φ(e²)=2／e²＞0，为此证φ(t)单调下降．由φ’(t)=(1一lnt)／t²易看出，当t＞e时，1一lnt＜0，从而φ’(t)＜0，φ(t)在(e，e²)单调下降．因e＜a＜ξ＜b＜e²，故 φ(ξ)＞φ(e²)，即 (lnξ)／ξ＞(lne²)／e²=2／e²．于是 ln²b—ln²a＞4(6-a)／e²．

解析

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考研数学一

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