2. 考研
  3. 设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，且f(a)=f(b)=g(a)=0，证明：E∈(a，b)，使f’’(ξ)g(ξ)+2f’(ξ)g’(ξ)+f(ξ)g’’(ξ)=0．

设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，且f(a)=f(b)=g(a)=0，证明：E∈(a，b)，使f’’(ξ)g(ξ)+2f’(ξ)g’(ξ)+f(ξ)g’’(ξ)=0．

admin2019-07-19  37
问题 设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，且f(a)=f(b)=g(a)=0，证明：E∈(a，b)，使f’’(ξ)g(ξ)+2f’(ξ)g’(ξ)+f(ξ)g’’(ξ)=0．
选项
答案令F(x)=f(x)g(x)，在x=a点展开泰勒公式． F(x)=F(a)+F’(a)(x-a)+[*]F’’(ξ)(x-a)2 (a＜ξ＜x)． ① 令x=b，代入①式，则 F(b)=F(a)+F’(a)(b-a)+[*]F’’(ξ)(b-a)2 (a＜ξ＜b)． ② 因f(a)=f(b)=g(a)=0，则F(a)=F(b)=0，且F’(a)=0，代入②式，得F’’(ξ)=0．即 f’’(ξ)g(ξ)+2f’(ξ)g’(ξ)+f(ξ)g’’(ξ)=0．
解析
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考研数学一

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