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假设:(1)函数y=f(x)(0≤x<+∞)满足条件f(0)=0≤0≤ex-1;(2)平行于y轴的动直线删与曲线y=f(x)和y=ex-1分别相交于点P1和P2;(3)曲线y=f(x)、直线删与x轴所围封闭图形的面积5恒等于线段P1P2的长度,求函数y=f
假设:(1)函数y=f(x)(0≤x<+∞)满足条件f(0)=0≤0≤ex-1;(2)平行于y轴的动直线删与曲线y=f(x)和y=ex-1分别相交于点P1和P2;(3)曲线y=f(x)、直线删与x轴所围封闭图形的面积5恒等于线段P1P2的长度,求函数y=f
admin
2020-12-17
72
问题
假设:(1)函数y=f(x)(0≤x<+∞)满足条件f(0)=0≤0≤e
x
-1;(2)平行于y轴的动直线删与曲线y=f(x)和y=e
x
-1分别相交于点P
1
和P
2
;(3)曲线y=f(x)、直线删与x轴所围封闭图形的面积5恒等于线段P
1
P
2
的长度,求函数y=f(x)的表达式.
选项
答案
由已知条件,有∫f(t)dt=e
x
-1-f(x), 方程两边对x求导得f(x)=e
x
-f
’
(x),即f
’
(x)+f(x)=e
x
, 令x=0,由原方程得f(0)=0,于是,原问题就转化为求微分方程f
’
(x)+f(x)=e
x
满 足初始条件f(0)=0的特解,由一阶线性微分方程的通解公式,得 f(x)=e
-∫dx
(fe
x
*e
∫dx
+C)=e
-x
(∫e
2x
dx+C)=(1/2)e
x
+Ce
-x
. 代入初始条件f(0)=0,得C=-(1/2),从而f(x)=1/2(e
x
-e
-x
).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/L3x4777K
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考研数学三
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