2. 考研
  3. 假设：(1)函数y=f(x)(0≤x＜+∞)满足条件f(0)=0≤0≤ex-1；(2)平行于y轴的动直线删与曲线y=f(x)和y=ex-1分别相交于点P1和P2；(3)曲线y=f(x)、直线删与x轴所围封闭图形的面积5恒等于线段P1P2的长度，求函数y=f

假设：(1)函数y=f(x)(0≤x＜+∞)满足条件f(0)=0≤0≤ex-1；(2)平行于y轴的动直线删与曲线y=f(x)和y=ex-1分别相交于点P1和P2；(3)曲线y=f(x)、直线删与x轴所围封闭图形的面积5恒等于线段P1P2的长度，求函数y=f

admin2020-12-17  41
问题 假设：(1)函数y=f(x)(0≤x＜+∞)满足条件f(0)=0≤0≤ex-1；(2)平行于y轴的动直线删与曲线y=f(x)和y=ex-1分别相交于点P1和P2；(3)曲线y=f(x)、直线删与x轴所围封闭图形的面积5恒等于线段P1P2的长度，求函数y=f(x)的表达式．
选项
答案由已知条件，有∫f(t)dt=ex-1-f(x)， 方程两边对x求导得f(x)=ex-f’(x)，即f’(x)+f(x)=ex， 令x=0，由原方程得f(0)=0，于是，原问题就转化为求微分方程f’(x)+f(x)=ex满 足初始条件f(0)=0的特解，由一阶线性微分方程的通解公式，得 f(x)=e-∫dx(fex*e∫dx+C)=e-x(∫e2xdx+C)=(1/2)ex+Ce-x． 代入初始条件f(0)=0，得C=-(1/2)，从而f(x)=1/2(ex-e-x)．
解析
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考研数学三

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