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  3. [2004年] 设级数的和函数为s(x)，求：(1)s(x)所满足的一阶微分方程；(2)s(x)的表达式．

[2004年] 设级数的和函数为s(x)，求：(1)s(x)所满足的一阶微分方程；(2)s(x)的表达式．

admin2019-03-30  56
问题 [2004年]  设级数的和函数为s(x)，求：(1)s(x)所满足的一阶微分方程；(2)s(x)的表达式．
选项
答案解一 (1)对[*]逐项求导得到 [*] 因而s(x)为方程y’=xy+x3／2满足初始条件y(0)=0的解． (2)方程[*]的通解为 [*] 由初始条件y(0)=0得c=1，故y=-x2／2+ex2/2－1，因而和函数为 s(x)=－x2／2+ex2/2－1． 解二 先求和函数s(x)的表示式，即先解(2)，然后解(1)． [*] 即 s(x)=ex2/2－x2／2－1． ① 下面再建立s(x)所满足的微分方程．易由式①求得 s’(x)=xex2/2－x， s(0)=1－0－1=0， 即 s’(x)=x(ex2/2－1－x2／2)+x3／2=xs(x)+x3／2， 亦即s’(x)=x[x2／2+s(x)]．因而s(x)为下述初始问题的解： s’(x)=xs(x)+x3／2， s(0)=0． 下同解一略.
解析
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考研数学三

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