[2004年] 设级数的和函数为s(x),求:(1)s(x)所满足的一阶微分方程;(2)s(x)的表达式.

admin2019-03-30  36

问题 [2004年]  设级数的和函数为s(x),求:(1)s(x)所满足的一阶微分方程;(2)s(x)的表达式.

选项

答案解一 (1)对[*]逐项求导得到 [*] 因而s(x)为方程y’=xy+x3/2满足初始条件y(0)=0的解. (2)方程[*]的通解为 [*] 由初始条件y(0)=0得c=1,故y=-x2/2+ex2/2-1,因而和函数为 s(x)=-x2/2+ex2/2-1. 解二 先求和函数s(x)的表示式,即先解(2),然后解(1). [*] 即 s(x)=ex2/2-x2/2-1. ① 下面再建立s(x)所满足的微分方程.易由式①求得 s’(x)=xex2/2-x, s(0)=1-0-1=0, 即 s’(x)=x(ex2/2-1-x2/2)+x3/2=xs(x)+x3/2, 亦即s’(x)=x[x2/2+s(x)].因而s(x)为下述初始问题的解: s’(x)=xs(x)+x3/2, s(0)=0. 下同解一略.

解析
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