[2004年] 设级数的和函数为s(x)，求：(1)s(x)所满足的一阶微分方程；(2)s(x)的表达式．

admin2019-03-30 87

问题 [2004年] 设级数

的和函数为s(x)，求：(1)s(x)所满足的一阶微分方程；(2)s(x)的表达式．

选项

答案解一 (1)对[*]逐项求导得到 [*] 因而s(x)为方程y’=xy+x³／2满足初始条件y(0)=0的解． (2)方程[*]的通解为 [*] 由初始条件y(0)=0得c=1，故y=-x²／2+e^x²/2－1，因而和函数为 s(x)=－x²／2+e^x²/2－1．解二先求和函数s(x)的表示式，即先解(2)，然后解(1)． [*] 即 s(x)=e^x²/2－x²／2－1． ① 下面再建立s(x)所满足的微分方程．易由式①求得 s’(x)=xe^x²/2－x， s(0)=1－0－1=0，即 s’(x)=x(e^x²/2－1－x²／2)+x³／2=xs(x)+x³／2，亦即s’(x)=x[x²／2+s(x)]．因而s(x)为下述初始问题的解： s’(x)=xs(x)+x³／2， s(0)=0．下同解一略.

解析

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考研数学三

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[2004年] 设级数的和函数为s(x)，求：(1)s(x)所满足的一阶微分方程；(2)s(x)的表达式．

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