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[2004年] 设级数的和函数为s(x),求:(1)s(x)所满足的一阶微分方程;(2)s(x)的表达式.
[2004年] 设级数的和函数为s(x),求:(1)s(x)所满足的一阶微分方程;(2)s(x)的表达式.
admin
2019-03-30
57
问题
[2004年] 设级数
的和函数为s(x),求:(1)s(x)所满足的一阶微分方程;(2)s(x)的表达式.
选项
答案
解一 (1)对[*]逐项求导得到 [*] 因而s(x)为方程y’=xy+x
3
/2满足初始条件y(0)=0的解. (2)方程[*]的通解为 [*] 由初始条件y(0)=0得c=1,故y=-x
2
/2+e
x
2
/2
-1,因而和函数为 s(x)=-x
2
/2+e
x
2
/2
-1. 解二 先求和函数s(x)的表示式,即先解(2),然后解(1). [*] 即 s(x)=e
x
2
/2
-x
2
/2-1. ① 下面再建立s(x)所满足的微分方程.易由式①求得 s’(x)=xe
x
2
/2
-x, s(0)=1-0-1=0, 即 s’(x)=x(e
x
2
/2
-1-x
2
/2)+x
3
/2=xs(x)+x
3
/2, 亦即s’(x)=x[x
2
/2+s(x)].因而s(x)为下述初始问题的解: s’(x)=xs(x)+x
3
/2, s(0)=0. 下同解一略.
解析
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考研数学三
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