计算二重积分x(x＋y)dxdy，其中D＝｛(x，y)｜x2＋y2≤2，y≥x2)

admin2015-04-02 71

问题计算二重积分

x(x＋y)dxdy，其中D＝｛(x，y)｜x²＋y²≤2，y≥x²)

选项

答案因为区域D关于y轴对称，所以[*]xydxdy＝0． [*]x(x＋y)dxdy＝[*]x²dxdy ＝2[*]x²dy ＝2 [*]一x²)dx ＝2[*]dx一2[*]x⁴dx 令x＝[*]sint，则 [*]dx＝[*]4sin²tcos²tdt＝[*](1－cos4t)dt＝[*] 又[*]x⁴dx＝[*]，所以 [*]

解析

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从点P1(1，0)作x轴的垂线，交抛物线y=x2于点Q1(1，1)，再从Q1作这条抛物线的切线与x轴交于P2，然后又从P2作x轴的垂线，交抛物线于点Q2…，依次重复上述过程得到一系列的点P1，Q1，P2，Q2，…，Pn，Qn，…．(Ⅰ)求(Ⅱ)求级数其
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