设A,B是二阶矩阵，｜A｜＜0,A2=E,且B满足B2=E,AB=－BA. 证明存在二阶可逆矩阵P，使得 P-1AP=且P-1BP=.

admin2022-03-23 82

问题设A,B是二阶矩阵，｜A｜＜0,A²=E,且B满足B²=E,AB=－BA.
证明存在二阶可逆矩阵P，使得
P^-1AP=

且P^-1BP=

选项

答案由AB=－BA,等式两边同时左乘P₁^-1，右乘P₁，有P₁^-1ABP₁=－P₁^-1BAP₁,进一步 P₁^-1AP₁P₁^-1BP₁=－P₁^-1BP₁P₁^-1AP₁ 记C=P₁^-1AP₁，D=P₁^-1BP₁,且由上一问得知，C=[*],即CD=－DC，也即 [*] 解之，得d₁=d₄=0，故P₁^-1BP₁=[*],即BP₁=[*]P₁^-1,又B²=E，即 [*] P₂^-1(P₁^-1BP₁)P₂=[*] 记P=P₁P₂,同时有 P^-1AP=P₂^-1(P₁^-1AP₁)P₂=[*] 综上,P即为所求。

解析

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考研数学三

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