设f(x)=(x-1)n(x2+5x+1)nsinx,则f(n)(1)=________.

admin2022-03-23  33

问题 设f(x)=(x-1)n(x2+5x+1)nsinx,则f(n)(1)=________.

选项

答案7nn!

解析 设u(x)=(x-1)n,v(x)=(x2+5x+1)nsinx,则f(x)=u(x)v(x),因
u(1)=u’(1)=u"(1)=…=u(n-1)(1)=0,u(n)(1)=n!
故由莱布尼茨公式,
f(n)(1)=u(1)v(n)(1)+nu’(1)v(n-1)(1)+…+nv’(1)u(n-1)(1)+v(1)u(n)(1)
=v(1)u(n)(1)=7nn!
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