设f(x)=(x－1)n(x2+5x+1)nsinx,则f(n)(1)=________.

admin2022-03-23 68

问题设f(x)=(x－1)ⁿ(x²+5x+1)ⁿsin

x,则f⁽ⁿ⁾(1)=________.

选项

答案7ⁿn!

解析设u(x)=(x－1)ⁿ,v(x)=(x²+5x+1)ⁿsin

x，则f(x)=u(x)v(x)，因
u(1)=u’(1)=u"(1)=…=u^(n-1)(1)=0,u⁽ⁿ⁾(1)=n!
故由莱布尼茨公式，
f⁽ⁿ⁾(1)=u(1)v⁽ⁿ⁾(1)+nu’(1)v^(n-1)(1)+…+nv’(1)u^(n-1)(1)+v(1)u⁽ⁿ⁾(1)
=v(1)u⁽ⁿ⁾(1)=7ⁿn!

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