设f(x)在区间[一a，a](a＞0)上具有二阶连续导数，f(0)=0． (1)写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式； (2)证明在[一a，a]上至少存在一点η，使a3f"(η)=3∫一aaf(x)dx．

admin2019-04-17 45

问题设f(x)在区间[一a，a](a＞0)上具有二阶连续导数，f(0)=0．
(1)写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；
(2)证明在[一a，a]上至少存在一点η，使a³f"(η)=3∫_一a^af(x)dx．

选项

答案(1)对任意的x∈[一a，a] f(x)=f(0)+f’(0)x+[*] 其中ξ在0与x之间． (2)∫_一a^a(x)dx=∫_一a^a f’(0)xdx+∫_一a^a[*]∫_一a^ax²f"(ξ)dx 因为f"(x)在[一a，a]上连续，故对任意的x∈[一a，a]，有m≤f"(x)≤M，其中M，m分别为f"(x)在[一a，a]上的最大，最小值，所以 [*] 因而由f"(x)的连续性知，至少存在一点η∈[一a，a]，使 f"(η)=[*]∫_一a^af(x)dx 即 a³f"(η)=∫_一a^af(x)dx．

解析

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考研数学二

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设f(x)在区间[一a，a](a＞0)上具有二阶连续导数，f(0)=0． (1)写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式； (2)证明在[一a，a]上至少存在一点η，使a3f"(η)=3∫一aaf(x)dx．

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