n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )

admin2016-05-31 19

问题 n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )

选项 A、二次型x^TAx的负惯性指数为零．
B、存在可逆矩阵P使P^-1AP=E．
C、存在n阶矩阵C使A=C^-1C．
D、A的伴随矩阵A^*与E合同．

答案D

解析选项A是必要不充分条件．这是因为r(f)=p+q≤n，
当q=0时，有r(f)=p≤n．此时有可能p＜n，故二次型x^TAx不一定是正定二次型．因此矩阵A不一定是正定矩阵．例如f(x₁，x₂，x₃)=

选项B是充分不必要条件．这是因为P^-1AP=E表示A与E相似，即A的特征值全是1，此时A是正定的．但只要A的特征值全大于零就可保证A正定，因此特征值全是1是不必要的．
选项C中的矩阵C没有可逆的条件，因此对于A=C^TC不能说A与层合同，也就没有A是正定矩阵的结论．例如

显然矩阵不正定．
关于选项D，由于

所以D是充分必要条件．

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考研数学三

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设A为n阶实矩阵，AT为A的转置矩阵，则对于线性方程组(I)AX＝0和(Ⅱ)ATAx＝0必有()．

若四阶矩阵A与B为相似矩阵，A的特征值为1／2、1／3、1／4、1／5，则行列式｜B-1－E｜＝_______．

设实对称矩阵，求可逆矩阵P，使P-1AP为对角形矩阵，并计算行列式丨A-E丨的值．

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根据《期货投资者保障基金管理暂行办法》的规定，存在较高风险的期货公司应当()向期货投资者保障基金管理机构提供财务监管报表。

银监会主席刘明康在工作会议上强调，2005年要进一步促进银行业加强和改善风险管理，巩固和发展宏观调控成果()

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