已知λ1，λ2，λ3是A的特征值，α1,α2,α3是相应的特征向量且线性无关，如α1+α2+α3仍是A的特征向量，则λ1=λ2=λ3．

admin2017-05-10 55

问题已知λ₁，λ₂，λ₃是A的特征值，α₁,α₂,α₃是相应的特征向量且线性无关，如α₁+α₂+α₃仍是A的特征向量，则λ₁=λ₂=λ₃．

选项

答案若α₁+α₂+α₃是矩阵A属于特征值λ的特征向量，即A(α₁+α₂+α₃) =A(α₁+α₂+α₃)．又A(α₁+α₂+α₃)=Aα₁+Aα₂+Aα₃=λ₁α₁+λ₂α₂+λ₃α₃，于是 (λ—λ₁)α₁+(λ—λ₂)α₂+(λ—λ₃)α₃=0．因为α₁,α₂,α₃线性无关，故 λ—λ₁=0，λ—λ₂=0，λ—λ₃=0．即λ₁=λ₂=λ₃．

解析

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考研数学三

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