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求使不等式对所有的自然数n都成立的最大的数a和最小的数β
求使不等式对所有的自然数n都成立的最大的数a和最小的数β
admin
2016-09-13
53
问题
求使不等式
对所有的自然数n都成立的最大的数a和最小的数β
选项
答案
已知不等式等价于(n+α)ln(1+[*])≤1≤(n+β)ln(1+[*]).即 α≤[*]-n≤β 令f(x)=[*],x∈(0,1],则 [*] 令g(x)=(1+x)ln
2
(1+x)-x
2
,x∈[0,1],则g(0)=0,且 gˊ(x)=ln
2
(1+x)+21n(1+x)-2x,gˊ(0)=0, [*] 故gˊ(x)在[0,1]上严格单调递减,所以gˊ(x)<gˊ(0)=0.同理,g(x)在[0,1]上也严格单调递减,故g(x)<g(0)=0,即(1+x)ln
2
(1+x)-x
2
<0,从而fˊ(x)<0(0<x≤1),因此f(x)在(0,1]上也严格单调递减. 令x=[*],则α≤f(x)≤β,有 [*] 故使不等式对所有的自然数n都成立的最大的数α为[*]-1,最小的数β为[*]
解析
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考研数学三
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