判断下列结论是否正确?为什么? (Ⅰ)若函数f(χ),g(χ)均在χ0处可导,且f(χ0)=g(χ0),则f′(χ0)=g′(χ0); (Ⅱ)若χ∈(χ0-δ,χ0+δ),χ≠χ0时f(χ)=g(χ),则f(χ)与g(χ)在χ=χ0处有相同

admin2018-08-12  52

问题 判断下列结论是否正确?为什么?
    (Ⅰ)若函数f(χ),g(χ)均在χ0处可导,且f(χ0)=g(χ0),则f′(χ0)=g′(χ0);
    (Ⅱ)若χ∈(χ0-δ,χ0+δ),χ≠χ0时f(χ)=g(χ),则f(χ)与g(χ)在χ=χ0处有相同的可导性;
    (Ⅲ)若存在χ0的一个邻域(χ0-δ,χ0+δ),使得χ∈(χ0-δ,χ0+δ)时f(χ)=g(χ),则f(χ)与g(χ)在χ0处有相同的可导性.若可导,则f′(χ0)=g′(χ0).

选项

答案(Ⅰ)不正确.函数在某点的可导性不仅与该点的函数值有关,还与该点附近的函数值有关.仅有f(χ0)=g(χ0)不能保证f′(χ0)=g′(χ0).正如曲线y=(χ)与y=g(χ)可在某处相交但并不相切. (Ⅱ)不正确.例如f(χ)=χ2,g(χ)=[*]显然,当χ≠0时f(χ)=g(χ),但f(χ)在χ=0处可导,而g(χ)在χ=0处不可导(因为g(χ)在χ=0不连续). (Ⅲ)正确.由假设可得当χ∈(χ0-δ,χ0+δ),χ≠χ0时 [*] 故当χ→χ0时等式左右端的极限或同时存在或同时不存在,而且若存在则相等.再由导数定义即可得出结论.

解析
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