2. 考研
  3. 设函数f(x)可导且0≤f’(x)≤(k>0)，对任意的x0，作xn+1=f(xn)(n=0，1，2，…)，证明：存在且满足方程f(x)=x．

设函数f(x)可导且0≤f’(x)≤(k>0)，对任意的x0，作xn+1=f(xn)(n=0，1，2，…)，证明：存在且满足方程f(x)=x．

admin2015-06-30  107
问题 设函数f(x)可导且0≤f’(x)≤(k>0)，对任意的x0，作xn+1=f(xn)(n=0，1，2，…)，证明：存在且满足方程f(x)=x．
选项
答案xn+1-xn=f(xn)-f(xn+1)=f’(ξn)(xn-xn-1)，因为f’(x)≥0，所以xn+1-xn与xn-xn-1同号，故{xn}单调． [*] 即{xn}有界，于是[*]存在，根据f(x)的可导性得f(x)处处连续，等式xn+1=f(xn)两边令n→∞，得[*]，原命题得证．
解析
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考研数学二

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