2. 考研
  3. 设函数y=y(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数． (1)试将x=x(y)所满足的微分方程=0变换为y=y(x)满足的微分方程； (2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)=的解．

设函数y=y(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数． (1)试将x=x(y)所满足的微分方程=0变换为y=y(x)满足的微分方程； (2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)=的解．

admin2017-04-24  39
问题 设函数y=y(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．
(1)试将x=x(y)所满足的微分方程=0变换为y=y(x)满足的微分方程；
(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)=的解．
选项
答案由反函数导数公式知 [*] 上式两端对y求导得 [*] 将[*]代入原方程得 y"—y=sinx 该方程对应的齐次方程y"一y=0的通解为 y=C1ex+C2e一x 设方程y"一y=smx的特解为[*]=Acosx+Bsinx，代入该方程得 [*] 从而y"一y =smx的通解为 y(x)=C1ex+ C2e一x一[*] 由 y(0) =0，y’(0)=[*] 得 C1=1，C2=一1 故 y(x)=ex一e一x一[*]
解析
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考研数学二

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