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设函数y=y(x)在(一∞,+∞)内具有二阶导数,且y’≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数. (1)试将x=x(y)所满足的微分方程=0变换为y=y(x)满足的微分方程; (2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y’(0)=的解.
设函数y=y(x)在(一∞,+∞)内具有二阶导数,且y’≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数. (1)试将x=x(y)所满足的微分方程=0变换为y=y(x)满足的微分方程; (2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y’(0)=的解.
admin
2017-04-24
21
问题
设函数y=y(x)在(一∞,+∞)内具有二阶导数,且y’≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数.
(1)试将x=x(y)所满足的微分方程
=0变换为y=y(x)满足的微分方程;
(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y’(0)=
的解.
选项
答案
由反函数导数公式知 [*] 上式两端对y求导得 [*] 将[*]代入原方程得 y"—y=sinx 该方程对应的齐次方程y"一y=0的通解为 y=C
1
e
x
+C
2
e
一x
设方程y"一y=smx的特解为[*]=Acosx+Bsinx,代入该方程得 [*] 从而y"一y =smx的通解为 y(x)=C
1
e
x
+ C
2
e
一x
一[*] 由 y(0) =0,y’(0)=[*] 得 C
1
=1,C
2
=一1 故 y(x)=e
x
一e
一x
一[*]
解析
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考研数学二
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