2. 考研
  3. 假设： (1)函数y=f(x)(0≤x＜∞)满足条件f(0)=0和0≤f(x)≤ex－1； (2)平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=ex－1分别相交于点P1和P2； (3)曲线y=f(x)、直线MN与x轴所围封闭图形的面积S恒等于线段P1P2的

假设： (1)函数y=f(x)(0≤x＜∞)满足条件f(0)=0和0≤f(x)≤ex－1； (2)平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=ex－1分别相交于点P1和P2； (3)曲线y=f(x)、直线MN与x轴所围封闭图形的面积S恒等于线段P1P2的

admin2022-10-13  38
问题 假设：
(1)函数y=f(x)(0≤x＜∞)满足条件f(0)=0和0≤f(x)≤ex－1；
(2)平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=ex－1分别相交于点P1和P2；
(3)曲线y=f(x)、直线MN与x轴所围封闭图形的面积S恒等于线段P1P2的长度，求函数y=f(x)的表达式。
选项
答案如图所示可知 ∫0xf(x)dx=ex－1－f(x) 两端求导，得 f(x)=ex－f’(x),即f’(x)+f(x)=ex 由一阶线性方程求解公式，得 f(x)=(∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C)e－∫P(x)dx =(∫exexdx+C)e-x=Ce-x+[*]ex 由f(0)=0得C=－[*],因此所求函数为 f(x)=[*](ex－e-x) [*]
解析
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考研数学三

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