假设: (1)函数y=f(x)(0≤x<∞)满足条件f(0)=0和0≤f(x)≤ex-1; (2)平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=ex-1分别相交于点P1和P2; (3)曲线y=f(x)、直线MN与x轴所围封闭图形的面积S恒等于线段P1P2的

admin2022-10-13  41

问题 假设:
(1)函数y=f(x)(0≤x<∞)满足条件f(0)=0和0≤f(x)≤ex-1;
(2)平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=ex-1分别相交于点P1和P2
(3)曲线y=f(x)、直线MN与x轴所围封闭图形的面积S恒等于线段P1P2的长度,求函数y=f(x)的表达式。

选项

答案如图所示可知 ∫0xf(x)dx=ex-1-f(x) 两端求导,得 f(x)=ex-f’(x),即f’(x)+f(x)=ex 由一阶线性方程求解公式,得 f(x)=(∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C)e-∫P(x)dx =(∫exexdx+C)e-x=Ce-x+[*]ex 由f(0)=0得C=-[*],因此所求函数为 f(x)=[*](ex-e-x) [*]

解析
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