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已知α1=(1,3,5,-1)T,α2=(2,7,a,4)T,α3=(5,17,-1,7)T, (Ⅰ)若α1,α2,α3线性相关,求a的值; (Ⅱ)当a=3时,求与α1,α2,α3都正交的非零向量α4; (Ⅲ)当a=3时,证明α1,
已知α1=(1,3,5,-1)T,α2=(2,7,a,4)T,α3=(5,17,-1,7)T, (Ⅰ)若α1,α2,α3线性相关,求a的值; (Ⅱ)当a=3时,求与α1,α2,α3都正交的非零向量α4; (Ⅲ)当a=3时,证明α1,
admin
2015-05-07
70
问题
已知α
1
=(1,3,5,-1)
T
,α
2
=(2,7,a,4)
T
,α
3
=(5,17,-1,7)
T
,
(Ⅰ)若α
1
,α
2
,α
3
线性相关,求a的值;
(Ⅱ)当a=3时,求与α
1
,α
2
,α
3
都正交的非零向量α
4
;
(Ⅲ)当a=3时,证明α
1
,α
2
,α
3
,α
4
可表示任一个4维列向量.
选项
答案
(Ⅰ)α
1
,α
2
,α
3
线性相关[*]秩r(α
1
,α
2
,α
3
)<3.由于 [*] 所以a=-3. (Ⅱ)设α
4
=(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)
T
,则有(α
1
,α
4
)=0,(α
2
,α
4
)=0,(α
3
,α
4
)=0,即 [*] 所以α
4
=k(19,-6,0,1)
T
,其中k≠0. (Ⅲ)由于|α
1
,α
2
,α
3
,α
4
| [*] =-12×348k≠0. 所以x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
α
4
=α恒有解,即任一4维列向量必可由α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表出. 或者由(Ⅰ)知a=3时,α
1
,α
2
,α
3
必线性无关,那么:若 k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
+k
4
α
4
=0, 用[*]左乘上式两端并利用[*]α
1
=[*]α
2
=[*]α
3
=0,有k
4
[*]α
4
=0,又α
4
≠0,故必有k
4
=0. 于是k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0.由α
1
,α
2
,α
3
线性无关知必有k
1
=0,k
2
=0,k
3
=0,从而α
1
,α
2
,α
3
,α
4
必线性无关.而5个4维列向量必线性相关,因此任一个4维列向量都可由α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表出.
解析
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0
考研数学一
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