设方程y’+P(x)y=x2，其中P(x)=求在(一∞，+∞)内的连续函数y=y(x)，使之在(一∞，+∞)内都满足方程，且满足初值条件y(0)=2．

admin2021-08-02 65

问题设方程y’+P(x)y=x²，其中P(x)=

求在(一∞，+∞)内的连续函数y=y(x)，使之在(一∞，+∞)内都满足方程，且满足初值条件y(0)=2．

选项

答案本题的特色在于当x的取值范围不同时，系数P(x)不同，这样所求解的方程就不一样，解的形式自然也会不一样，最后要根据解y=y(x)是连续函数，确定任意常数．当x≤1时，方程及其初值条件为[*]解得 y=e^—∫1dx(∫x²e^∫1dxdx+C₁)一e^—x(x²e^xdx+C₁)=x²—2x+2+C₁e^—x．由y(0)=2得C₁=0，故y=x²一2x+2．当x＞1时，方程为y’+[*]=x²，解得 [*] 综上，得 [*] 又y(x)在(一∞，+∞)内连续，有y(1^—)=y(1⁺)=y(1)，即1—2+2一[*]+C，从而C=[*]．所以 [*]

解析

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考研数学二

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设方程y’+P(x)y=x2，其中P(x)=求在(一∞，+∞)内的连续函数y=y(x)，使之在(一∞，+∞)内都满足方程，且满足初值条件y(0)=2．

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