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设f(x)为连续函数,且满足∫0xf(t)dt=ex+∫0xtf(x-t)dt,则曲线y=f(x)的拐点为_______
设f(x)为连续函数,且满足∫0xf(t)dt=ex+∫0xtf(x-t)dt,则曲线y=f(x)的拐点为_______
admin
2020-09-23
38
问题
设f(x)为连续函数,且满足∫
0
x
f(t)dt=e
x
+∫
0
x
tf(x-t)dt,则曲线y=f(x)的拐点为_______
选项
答案
(一3,一2e
-3
)
解析
令x—t=u,则
∫
0
x
tf(x一t)dt=∫
x
0
(x一u)f(u)(一du)=∫
0
x
(x一u)f(u)du,
则已知等式可化为
∫
0
x
f(t)dt=e
x
+x∫
0
x
f(u)du一∫
0
x
uf(u)du,
等式两边对x求导,得
f(x)=e
x
+∫
0
x
f(u)du,
取x=0,得,f(0)=1,上式两边对x求导,得
f’(x)一f(x)=e
x
,
于是 [f’(x)一f(x)]e
-x
=1,即[f(x)e
-x
]’=1,
等式两边对x积分,得
f(x)e
-x
=x+C, f(x)=e
x
(x+C),
由f(0)=1,得C=1,则f(x)=e
x
(x+1),f’(x)=e
x
(x+2).f”(x)=e
x
(x+3),
由f”(x)=0,得x=-3,且当x<-3时,f"(x)<0,当x>一3时,f"(x)>0,故曲线y=f(x)的拐点为(一3,一2e
-3
).
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考研数学一
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