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求下列旋转体的体积V: (Ⅰ)由曲线y=x2,x=y2所围图形绕x轴旋转所成旋转体; (Ⅱ)由曲线x=a(t-sint),y=a(1-cost)(0≤t≤2π),y=0所围图形绕y轴旋转的旋转体.
求下列旋转体的体积V: (Ⅰ)由曲线y=x2,x=y2所围图形绕x轴旋转所成旋转体; (Ⅱ)由曲线x=a(t-sint),y=a(1-cost)(0≤t≤2π),y=0所围图形绕y轴旋转的旋转体.
admin
2017-05-31
32
问题
求下列旋转体的体积V:
(Ⅰ)由曲线y=x
2
,x=y
2
所围图形绕x轴旋转所成旋转体;
(Ⅱ)由曲线x=a(t-sint),y=a(1-cost)(0≤t≤2π),y=0所围图形绕y轴旋转的旋转体.
选项
答案
(Ⅰ)如图3.2,交点(0,0),(1,1),则所求体积为 V=∫
0
1
π[([*])
2
-(x
2
)dx=π∫
0
1
(x-x
4
)dx =[*] [*] (Ⅱ)如图3.3,所求体积为 y=2π∫
0
2πa
yxdx=2π∫
0
2π
a(1-cost)a(t-sint)a(1-cost)dt =2πa
3
∫
0
2π
(1-cost)
2
(t-sint)dt =2πa
3
∫
0
2π
(1-cost)
2
tdt-2πa
3
∫
-π
π
(1-cost)
2
sintdt =2πa
3
∫
0
2π
(1-cost)
2
tdt [*]2πa
3
∫
-π
π
[1一cos(u+π)]
2
(u+π)du =2πa
3
∫
-π
π
(1+cosu)
2
udu+2π
2
a
3
∫
-π
π
(1+cosu)
2
du =4π
2
a
3
∫
0
π
(1+cosu)
2
du=4π
2
a
3
∫
0
π
(1+2cosu+cos
2
u)du=4π
2
a
3
(π+[*])=6π
3
a
3
. [*]
解析
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