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求二元函数z=f(x,y)=x2y(4-x-y)在由直线x+y=6、x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值。
求二元函数z=f(x,y)=x2y(4-x-y)在由直线x+y=6、x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值。
admin
2022-10-08
47
问题
求二元函数z=f(x,y)=x
2
y(4-x-y)在由直线x+y=6、x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值。
选项
答案
由方程组[*] 得x=0,(0≤y≤6)及点(4,0),(2,1). 点(4,0)及线段x=0在D的边界上,只有点(2,1)是可能的极值点。 f"
xx
=8y-6xy-2y
2
f"
xy
=8x-3x
2
-4xy f"
yy
=-2x
2
在点(2,1)处 A=f"
xx
(2,1)=(8y-6xy-2y
2
)[*]=-6<0 B=f"
xy
(2,1)=(8x-3x
2
-4xy)[*]=-4 C=f"
yy
(2,1)=-2x
2
[*]=-8 则B
2
-AC=16-48=-32<0 因此点(2,1)是极大值点,极大值f(2,1)=4 在边界x=0(0≤y≤6)和y=0(0≤x≤6)上f(x,y)=0,在边界x+y=6上,y=6-x,代入f(x,y)中得z=2x
3
-12x
2
(0≤x≤6) 由z’=6x
2
-24x=0得x=0,x=4,z"|
x=4
=12x-24|
x=4
=24>0 所以点(4,2)是边界上的极小值点,极小值为f(4,2)=-64 经比较得,最大值为f(2,1)=4,最小值为f(4,2)=-64.
解析
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考研数学三
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