设f(x)在(－∞，+∞)内二阶可导，且f"(x)＞0，f(0)=0，证明：在(－∞，0)和(0，+∞)都是单调增加的．

admin2019-12-26 54

问题设f(x)在(－∞，+∞)内二阶可导，且f"(x)＞0，f(0)=0，证明：

在(－∞，0)和(0，+∞)都是单调增加的．

选项

答案[*]x≠0．令 g(x)=xf′(x)－f(x)，g(0)=－f(0)=0， g′(x)=f′(x)+xf"(x)－f′(x)=xf"(x)，g′(0)=0，当x＜0时g′(x)＜0；当x＞0时g′(x)＞0．故g(0)=0是g(x)的最小值，所以当x≠0时，g(x)＞g(0)=0，从而φ′(x)＞0，即φ(x)在(－∞，0)和(0，+∞)都是单调增加的．

解析

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考研数学三

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