设A=(aij)是m×n矩阵,β=(b1,b2,…,bn)是n维行向量,如果方程组(Ⅰ)Ax=0的解全是方程(Ⅱ)b1x1+b2x2+…+bnxn=0的解,证明β可用A的行向量α1,α2,…,αm线性表出.

admin2016-10-20  34

问题 设A=(aij)是m×n矩阵,β=(b1,b2,…,bn)是n维行向量,如果方程组(Ⅰ)Ax=0的解全是方程(Ⅱ)b1x1+b2x2+…+bnxn=0的解,证明β可用A的行向量α1,α2,…,αm线性表出.

选项

答案构造一个联立方程组 [*] 简记为Cx=0,显然,(Ⅲ)的解必是(Ⅰ)的解,又因(Ⅰ)的解全是(Ⅱ)的解,于是(Ⅰ)的解也必全是(Ⅲ)的解,所以(Ⅰ),(Ⅲ)是同解方程组,它们有相同的解空间.从而n-r(A)=n-r(C),即r(A)=r(C),亦即r(α1,α2,…,αm)=r(α1,α2,…,αm,β). 因此极大线性无关组所含向量个数相等,这样α1,α2,…,αm的极大线性无关组也必是α1,…,αm,β的极大线性无关组,从而β可由α1,α2,…,αm线性表出.

解析
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