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设f(x)= (I)若f(x)处处连续,求a,b的值; (II)若a,b不是(I)中求出的值时f(x)有何间断点,并指出它的类型.
设f(x)= (I)若f(x)处处连续,求a,b的值; (II)若a,b不是(I)中求出的值时f(x)有何间断点,并指出它的类型.
admin
2017-08-28
81
问题
设f(x)=
(I)若f(x)处处连续,求a,b的值;
(II)若a,b不是(I)中求出的值时f(x)有何间断点,并指出它的类型.
选项
答案
(I)首先求出f(x).注意到 [*]故要分段求出f(x)的表达式. 当|x|>1时,f(x)=[*] 当|x|<1时,f(x)=[*]=ax
2
+bx. 于是得[*] 其次,由初等函数的连续性知f(x)分别在(-∞,-1),(-1,1),(1,+∞)上连续. 最后,只需考察f(x)在分界点x=±1处的连续性.这就要按定义考察连续性,分别计算: [*] 从而f(x)在x=1连续[*]f(1+0)=f(1-0)=f(1)[*]a+b=1=[*](a+b+1)[*]a+b=1; f(x)在x=-1连续[*]f(-1+0)=f(-1-0)=f(-1)[*]a-b=-1=[*](a-b-1) [*]a-b=-1. 因此f(x)在x=±1均连续[*]a=0,b=1.当且仅当a=0,b=1时f(x)处处连续. (II)当(a,b)≠(0,1)时,若a+b=1(则a-b≠-1),则x=1是连续点,只有x=-1是间断点,且是第一类间断点;若a-b=-1(则a+b≠1),则x=-1是连续点,只有间断点x=1,且是第一类间断点;若a-b≠一1且a+b≠1,则x=1,x=-1均是第一类间断点.
解析
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考研数学一
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