有一平底容器,其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面,容器的底面圆的半径为2m。根据设计要求,当以3m3/min的速率向容器内注入液体时,液面的面积将以πm2/min的速率均匀扩大(假设注入液体前,容器内无液体)。 根据t时刻液面

admin2019-06-28  42

问题 有一平底容器,其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面,容器的底面圆的半径为2m。根据设计要求,当以3m3/min的速率向容器内注入液体时,液面的面积将以πm2/min的速率均匀扩大(假设注入液体前,容器内无液体)。
根据t时刻液面的面积,写出t与φ(y)之间的关系式;

选项

答案设在t时刻,液面的高度为y,此时液面的面积为 A(t)=πφ2(y), 由题设,液面的面积将πm2/min的速率均匀扩大,可得 [*] 所以 φ2(y)=t+C。 由题意,当t=0时φ(y)=2,代入得C=4,于是得 φ2(y)=t+4。 从而 t=φ2(y)一4。

解析
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