设A是各行元素和均为零的三阶矩阵，α，β是线性无关的三维列向量，并满足Aα=3β，Aβ=3α。证明矩阵A能相似于对角矩阵；

admin2017-11-30 57

问题设A是各行元素和均为零的三阶矩阵，α，β是线性无关的三维列向量，并满足Aα=3β，Aβ=3α。
证明矩阵A能相似于对角矩阵；

选项

答案因为A的各行元素和为零，从而λ=0为A的一个特征值，并且r=(1，1，1)^T为A属于λ=0的特征向量。另一方面，又因为Aα=3β，Aβ=3α，所以 A(α+β)=3(α+β)，A(α一β)=－3(α一β)， λ=3和λ=－3为A的两个特征值，并且α+β和α一β为A属于λ=3，一3的特征向量，可见A有三个不同的特征值，所以A能相似于对角矩阵。

解析

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考研数学二

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